作者：wxmang ｜ 本文正文：《瞎扯伽罗华群论思想》 ｜ 收录读者讨论 56 条，其中作者回应 29 条（共 22 位参与者）。
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问 ｜ 辣椒炒牛肉 ｜ 2016-12-27
忙总当年做数学的时候，LaTeX还没怎么流行吧？哈哈！
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-28
当年我们讲义还是刻钢板油印的，连铅印的都不多，而且纸张质量极差，夏天合肥太热，复变函数论，拓扑学讲义我的印象都是手上流下来的汗水把讲义都浸透变成一团糊涂。
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问 ｜ 罗阿宝 ｜ 2016-12-27
工科生捂脸飘过~
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-28
工科其实也要学有限群或李群，不然微分方程和泛函分析没法搞清楚，尤其是量子力学，不学群论，搞不彻底。当年在裤子大工科，例如精密机械系（9系）也有群论课。
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问 ｜ tnq2016 ｜ 2016-12-27
建议忙总干脆到大学教书去！呵呵
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-28
我跟朱清时（当时科大校长）聊过，人家只愿意我去开讲座，当编制老师不可能，因为没有国外名校博士学位。开讲座，他们又不敢让我撒开欢讲，要限制内容。
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问 ｜ bubble ｜ 2016-12-27
“这些抽象概念的基本思想和原型是什么等等”
有本讲数学教育的书,就是这类路子
高观点下的初等数学
菲利克斯.克莱因
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-28
大学数学系课程，把背景和基本思想讲清楚，很考验老师专业功底，华罗庚讲起来很轻松，一般年轻老师储备不够，讲起来，容易被学生提问挂黑板，穿帮露馅，所以一般不容易讲。
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问 ｜ 泸村 ｜ 2016-12-27
虽然不是数学专业的，但当年修过数学系的抽象代数的课，最大的震撼就是结构思维有如此之大的威力，真是另开了一番天地
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-28
数学系的基本目标是训练学生形成两个思维框架，一个是基于数学分析的ε–δ语言建立的精细思维框架，建立优化的思想；一个是基于抽象代数建立的结构框架思维模式，可以从纷繁中抓住重点。
有这两种思维框架，不管做什么，都很有竞争力。
举例来讲，每年的《政府工作报告》3万多字，但是其实有意义的不过2000多字，你只需要把核心概念抓住，把核心概念之间的关系（逻辑关系，因果关系等等）找到，基本就完全把握了。这里核心概念就是集合元素，关系就是集合上定义的运算，也就是一个代数，自然可以进行推论了，可以把原来包含在逻辑里面的潜台词，甚至写报告本人都未意识到的必然结果推论出来，就可以预见政策实施的结果。
所以如果一个人一不小心进了数学系，其实一点不要着急，4年时间，如果能够建立一个结构框架思维方式和一个精细思维方式，很值得，以后职业竞争力巨大。
现在很多人，积累了非常多的知识，可是没有思维框架，就像一个人积累了不少水泥，钢材，玻璃等等建材，但是没能力盖成大厦，永远只能做建材批发商而不能成为创造价值更高的房地产商。
知识原装销售，跟组装销售，价值太不同了。所以说，不是知识改变命运，而是思维方式，或者思维框架改变命运。
我介绍数学常识，其实是给大家介绍思维模式。
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问 ｜ 如泣如诉 ｜ 2016-12-27
在一本《蛙鸣》的编委里面找到了忙总的名字
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-28
《蛙鸣》这个名字就是我取的，最早只是781自娱自乐的油印刊物，只是后来系领导发现里面内容要失控，从数学，转到熊彼特，法约尔，最后开始转到哈耶克，不得不收到系里主办，后来变成系刊，也有快四十年历史了。
你是科大1系的学生？
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问 ｜ 土豆烧牛肉 ｜ 2016-12-28
首先想到的是函数空间，测度空间。结构的不同主要在于集合上定义的运算规则的不同吧？为了满足运算的封闭性，集合自身也要限定。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-28
下面有时间，我会介绍数学分析，包括微积分、实变函数和泛函分析的基本思想和历史。
结构与集合上定义的运算规则无关，与结构本身性质有关，例如拓扑空间中，运算规则一样情况下，面包跟面包圈就是两个完全不同的结构。
今年的诺贝尔物理学奖获得者就是用面包，面包圈和两个洞的面包圈来解释其中结构本质的差异的。（今年是凝聚态物理获奖，名字就叫：物质拓扑相变）。
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问 ｜ 盈飞轻 ｜ 2016-12-28
大学的时候跟一个政治老师学过中国传统数学，尺、筹、规、矩、盘等工具，用起来也很神奇。但是跟现代数学差别还是很大的，有点类似于“术”和“道”的区别。这一点上我们为啥比西方落后这么多呢，是不是因为传承人、传承途径太少，缺少迭代呢。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-28
中国传统数学主要是计算，没有证明，很难得到抽象的定理和结论。所以与现代数学不是一回事，就像尼安特人不是现代人一样。
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问 ｜ 江淮客 ｜ 2016-12-28
还有这一段?
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-01
当时学生中有告密者，这人暴露后，再也没人理他。
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问 ｜ lexwhang ｜ 2016-12-28
大赞！思维方式，思维框架改变命运！期待忙总大作。不知道忙总写不写概率论与随机系统？
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-01
写过贝叶斯决策了。
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问 ｜ 必须勤力 ｜ 2016-12-29
“数学系的基本目标是训练学生形成两个思维框架，一个是基于数学分析的ε–δ语言建立的精细思维框架，建立优化的思想；一个是基于抽象代数建立的结构框架思维模式，可以从纷繁中抓住重点。”
——倒退，对号入座，精细思维框架严重不够，所以，优化思想缺乏，浪费严重。结构框架思维尚可，抓重点能力还凑合。事实上思维习惯比较习惯框架化（能迅速判断别人的思维清晰度，不能忍受碎片化的陈述，听到开头就会忍不住替别人提炼要点），但应该不是基于抽象思维训练形成的，更接近“几何＋逻辑”的混杂结果。 两个相比，可能学抽象代数会相对会轻松一点，需要重点搞清楚数学分析。
从情感上自幼是是喜欢数学的，喜欢数学的逻辑清晰，表述简洁。而且数学能力基本不受老师的教学水平局限，但是能够判断出老师的水平高低，由于碰到好的会教的数学老师的概率几乎为0，所以从小学数学到高数，基本都是自学的，即自己看教科书搞清楚的，很侥幸没经历过题海教育，只做过老师们布置的少量练习题及少量的考试，数学思维可以说没有怎么被开发过，至今还是接近原始状态。另，每次重要升学考试数学都是最高分，大学里高数课真心听不懂啊，考试倒是能拿高分（数学系老师对文科生的考卷很放水，都是些很简单的题目，教材看得明白就行了，不过每次也有人只能考二三十分的），所以，潜力还是可以挖掘挖掘的。接下来抽空学习高数，看看能学到什么程度，抗衰老防痴呆的同时让思维更彪悍 ^_^
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-01
数学家患老年痴呆的比比皆是，系统所的搞抽象代数的刘书麟还因为走失上过一次CCTV新闻，因为他口袋里装了大量现金，但是记不得自己是谁，还是他的学生在电视上看见他，把他救回来。他也是科大数学系58级的校友。
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问 ｜ 小飕风风 ｜ 2016-12-31
这篇真是完全看不懂了。看过一些关于伽罗华的故事，如果不是早逝，数学发展又不知道会发展成啥样。当时看西河的一篇关于密码的文章，群论都被用来破解德国的密码，从而绕开了一些传统方法难以避免的难题。
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-01
抽象代数一个主要用途就是编码，一般是用多项式因式分解作为密钥（例如168阶的多项式，如果不知道密钥，可能的置换群是168！基本无法穷举的）。有兴趣建议看看系统所万哲先的《代数与编码》科普，万哲先是中国密码学派奠基人，我们密码技术不落后美国俄罗斯。
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问 ｜ 必须勤力 ｜ 2017-01-01
元旦吉祥！
可能是他们过于投入专注地进入到数学世界里去了，那是一个美好纯净的世界，所以迷失在其中了……像我这种完全就是活跃思维的，估计想通过学数学激发老年痴呆症的可能性比较低了^_^ 主要是最近复习了一点线性代数，感觉比较高兴，希望能够坚持一段时间，现在在线听一些名校的普及课，还是方便的（而且比我自己过去的老师们强），如果纯粹自己看书，估计坚持不了几页。
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-04
不是，老年痴呆，主要跟遗传有关，其实就是大脑淀粉化。
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问 ｜ 弈理指归 ｜ 2017-01-02
忙总，博弈论也按这种方式科普一下吧，不严谨也不要紧，就是需要类似导读的提示和思路引导你给个描述，我们自己去还原
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-04
我对博弈论不熟悉，我专业是优化。
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问 ｜ 包子 ｜ 2017-01-02
忙总 您对现在特别火热的量子密钥分发有了解吗？科大做得东西，我本来以为应该是一个基础科研的话题，结果现在国内搞大了，16年发射了墨子卫星，今年据说还要立重大专项，就是大飞机的重大专项。
我的理解是，量子密钥分发就是让通信的双方在正式通信之前，以绝对安全的方式分享密钥(一串随机数），所谓安全就是，这个过程中如果有人窃听，通信双方能通过比对误码率推断出来。我是很疑惑，这件事情似乎只能部分地解决安全性问题，真的那么重要吗？我请教过量子信息的专家，他们的说法是，一旦量子计算机能做出来，现有的加密方式就危险了可以破解，而量子密钥分发是可以抵御量子计算机的。我总感觉这里面很多忽悠的成分。
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-04
不了解这个方向。
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问 ｜ slyypp ｜ 2017-01-02
这人也是，自己不喜欢退出不就行了，何必出此下策？
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-04
你可能不知道，我们那个时代，名牌大学里面，一局或一处是要发展学生特务的。
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问 ｜ 老燕 ｜ 2017-01-04
我学过四大力学，但是没学过群论。
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-04
你学的可能是基于偏微分方程的普及版《量子力学》。真的量子力学，都是基于李群的，有兴趣，可以看看吴兆颜 的《高等量子力学》，这本书就是基于李代数来讲量子力学，你叫他《李群在量子力学中应用》也可以。
其实只要涉及量子力学里面的无穷小动量和角动量算符构造，就要李群。物理研究的一个核心不变量是对称性，外尔（Weyl）对对称性的定义是：对称性就是在某种变换下的不变性。
讨论变换就是在讨论群论。
不懂群论，是无法理解场论的。
布尔巴基的韦伊（André Weil）说过，“遇到困难，求助于所研究对象的自同构群。”
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问 ｜ 一休哥们儿 ｜ 2017-01-04
忙总干脆整个数学科普系列。类似《上帝掷骰子吗——量子物理史话》这种科普，说不定变网红喔
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-09
没这个能力，懂得太少。
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问 ｜ 老燕 ｜ 2017-01-05
就是学校统一给工科配的，似乎是南京大学出版社出版的量子力学。
授课的是胡兹甫，当时是副教授，据说曾在朱经武手下学习过。
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-09
量子力学有两个表达方式，一个是基于薛定谔方程的哈密顿算符表达（偏微分方程算符），这其实是几何解释，但是很多深入的问题解释不了，一个是基于海森堡的矩阵方程表达，这是基于群的表达，可以很好的从结构来理解量子力学本质：变换下的不变量是对称。
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问 ｜ 老燕 ｜ 2017-01-09
完全想不起来了。
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-09
从数学角度看，每一个对称性对应一个守恒定律，例如空间位移对称造成动量守恒，而时间平移对称造成能量守恒。显然我们都知道，物理学的基础是几个守恒定律1，所以物理学对称性是现代物理学的核心概念，
对称性分规范对称性和整体对称性，从几何角度理解，就是系统的拉格朗日量或运动方程在某些变量的变化下的不变性。如果这些变量随时空变化，这个不变性被称为规范对称性，反之则被称为整体对称性。最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。
从代数上看，这些对称性可以由群论来表述，牛顿力学的群分别对应着伽利略群（一个十维对称群，包括在时间上的平移，在三维空间中任一维上的平移，在三条空间轴上任一条的（定角）旋转，或三维任一方向上的直线性洛伦兹变换），电动力学对应洛伦兹群和量子力学对应李群。对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性和分立对称性。
杨振宁的最主要工作就是把规范对称性表达为一个理论的拉格朗日量的形式，并构造了核作用的规范理论。从此，规范对称性被大量应用于量子场论和粒子物理模型中。在粒子物理的标准模型中，强相互作用，弱相互作用和电磁相互作用的规范群。
现代数学认为：物理系统的每一个对称性都有相对的守恒定律。诺特定理（诺特是抽象代数领域一个开创性的人物，少有的女伟大数学家）就是概括这关系的重要定理。它指出物理系统包含的每一个对称性都代表此系统有某相对的物理量守恒。反过来说：物理系统有某守恒性质就代表它带其相对的对称性。
所以现代物理学，离开群论，基本没法工作了。
相对论对应庞加莱群。
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问 ｜ 霍牛 ｜ 2017-01-09
忙总说的第二个就是张量吧？
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-19
不是张量，张量本质还是几何概念，不是抽象结构概念。
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问 ｜ 塔里木河 ｜ 2017-01-12
还有另外一个笔误：“用S(3)做置换计算得到（S(3)包括：1，（132），（321），（213）,（231）,(312)等六个置换，这是一个六阶置换群）
1=x1+wx2+w^2x3, ”
此处应该为 r_1 = x1+wx2+w^2x3.
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-19
谢谢谢谢。
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问 ｜ 黑白熊 ｜ 2017-01-13
我觉得各有千秋吧，其实这两个表达都是要用偏微分和算符的。海森堡汇景只是把偏微分内含在算符里头了，所以被算符作用的右矢量不含时间。薛定谔方程等于说反过来，右矢量含时间，算符就不用有偏微分了。类似于两种汇景选择了不同的一组特征矢量构成的基。
量子力学最有趣的地方是它的几个基本假设，然后才是用哪个抽象的数学概念来表现。从这个意义上看，群论也只是一个工具。基本假设实际上是从经验（也就是实验）来的，其实说白了就是理论家尝试了各种奇怪的基本假设的排列组合，最后确定了一组自洽的而且又符合实验的模型。说得美妙一点当然也可以说最后成功的这个理论本身很美，推导出这个理论的理论学家有很好的直觉什么的。
另一个作为后人，学习先人理论发展的有趣的地方，就是在实验不断发展的时候就要推广理论。他们怎么改变基本假设的。记得量子场论里头比较震惊的是量子路径积分，就把变分量很轻松地推广到了同时包含时间和空间。
答 ｜ wxmang ｜ 2017-01-19
抽象代数创始人之一（环论创始人）埃米诺特发现了数学和理论物理的对称定理后，其实理论物理与数学就很难分家了。
诺特定理：对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。
这里对称性是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。
物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。
推论：
1、物理系统对于空间平移的不变性（物理定律不随着空间中的位置而变化）线性动量守恒；
2、转动的不变性角动量守恒；
3、时间平移的不变性能量守恒；
4、在量子场论中，诺特定理的等价定理是沃德-高桥恒等式(Ward-Takahashi)，可以从电势和向量势的规范不变性得出电荷守恒。
简单举例说，牛顿运动定律F=ma（矢量形式）在空间旋转变换下是不变的，把坐标轴旋转，虽然矢量的各个分量变了，但总的方程F=ma（矢量形式）是不变的，所以在牛顿力学当中，就存在着一个跟空间各向同性相对应的守恒量–角动量。时间均匀性跟能量守恒也是如此，由时间均匀性，也就是过去、现在、未来物理定律是一样的，由诺特定理可以得出存在这么一个守恒量–能量。
现在凝聚态物理最前沿的成果（例如文小刚搞的东西），我看就是微分几何+代数拓扑，已经没有什么物理味道了，完全是数学。
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问 ｜ 高鸣 ｜ 2017-03-16
个人认为诺特凭借对称定理这一项对物理学的贡献 就已经超越了 很多知名的物理学家 包括玻尔、泡利这样名气大的
答 ｜ wxmang ｜ 2017-03-20
是的，有很多数学家是能够在物理学里面有重要位置的，例如威腾，例如诺特，例如克莱因，例如希尔伯特等等。
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问 ｜ 高鸣 ｜ 2017-03-21
诺特、克莱因、希尔伯特的地位自不必说。威腾的地位恐怕有待探讨，去年8月LHC的实验基本判了超对称的死刑，这意味着搞弦论的那帮人自80年代开始引入超对称以后的工作基本白忙活了。个人感觉弄成这个局面威腾等 弦论元老要负责任，此前很多人指出弦论 研究圈子有问题。戴森在《飞鸟与青蛙》一文里也暗示 威腾并不是像外尔和杨振宁那样优秀的可以有效统领全局的飞鸟。个人感觉，威腾工作的长远影响，除了他80年代末拿到菲尔茨奖的那个数学味道更浓的研究，以95年让他名声大噪的M理论为代表的种种超弦理论工作的光辉恐怕自此逝去了……
答 ｜ wxmang ｜ 2017-03-22
威腾应该更像物理学家，他的主要贡献是凝聚态物理（文小刚就是他的学生），据科大数学系的胡森讲（他也是威腾的学生），威腾是拿菲尔茨奖的物理学家，其物理直觉和美感超过数学直觉和美感。
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问 ｜ 高鸣 ｜ 2017-03-23
对凝聚态这块 一直不大了解，忙总有空的时候能否为大家科普一下？
答 ｜ wxmang ｜ 2017-03-23
对凝聚态物理我不熟，我只能从国家产业政策角度讲讲我了解的。
我们近十年在凝聚态物理上大量投资，目前形成清华，中国科大，南京大学三足鼎立局面（水平也是世界前茅），由于申请经费容易，现在有100多家小的追随。
国家投资凝聚态物理，基于产业升级方向判断。我们认为未来20年制造业的制高点是：新材料+超级计算机+海量存储设备+工业高速互联网支撑的智能制造（按订单精细设计+精密制造+表面组装）。
新材料突破的主要方向是高温氧化超导材料，纳米材料，超微结构材料等等。而这些正好是凝聚态物理目前的研究前沿：
1.表面人工纳米结构的构筑和原子尺度操控：绝缘体表面、磁性纳米结构、单分子操纵。
2.新材料的合成和研究：高温超导体、拓扑绝缘体、石墨烯、低维强关联体系。
3.极端条件下的仪器技术发展：时间 (fs)、空间 (sub-Ångstrom)、能量 (sub-ueV)、温度 (sub-mK) 、磁场 (>20T)、高频 (>500MHz)。
4.第一性原理计算和分子动力学模拟：强关联、激发态、弱相互作用、原子核量子效应、大体系。
5.工业技术应用相关：表面催化、太阳能电池、产氢和储氢、生物体系。
近年凝聚态物理的前沿似乎是相变。例如去年诺贝尔物理学奖就是拓扑相变。
相变有两个研究方向，一个是重整化（数学上重整化群是研究非线性相变的主要工具），包括场论和统计物理，甚至高分子材料都需要这个方向研究。第二个是拓扑相变，现在比较流行的是拓扑序研究，例如拓扑绝缘体的问题。相变是凝聚态物理的本质问题，因为不但超导超流是相变，在磁性材料里面还有更多相变问题，如果到了软物质体系（包括生物大分子如蛋白质、RNA、DNA、生物膜等等），无序系统（玻璃、胶体等等），也是相变。
顺便说一句，近40年，诺贝尔物理学奖50%以上都是凝聚态物理获得。90年代初，杨振宁建议中国加大凝聚态物理投入，利在当代，功在千秋。
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问 ｜ 霍牛 ｜ 2017-03-27
山西大学光电所张靖教授的小组在凝聚态物理实验上的进展也在一直居于国内前列，颇感自豪
答 ｜ wxmang ｜ 2017-03-30
其实山西高等教育基础不错，阎锡山建立的太原工学院是中国第一家现代工业大学。