作者：wxmang ｜ 首发：2017-02-04 ｜ 原文链接
这一篇帖子主要介绍人类如何从一个基于几何直观或直觉的计算技巧或计算方法，进化到逻辑基础严密的公理体系的例子，想说明人类抽象的另外一个方向：语言抽象（结构抽象已经在介绍伽罗华群论时介绍过）。
为了让非数学专业的人能够看下去，采用了大量描述性语言，所以严谨是谈不上的，只能算瞎扯。
现代数学基础有三大分支：分析，代数和几何。 这篇帖子以尽量通俗的白话介绍数学分析。数学分析是现代数学的第一座高峰。
最后为了说明在数学中，证明解的存在性比如何计算解本身要重要得多，用了两个理论经济学中著名的存在性定理（阿罗的一般均衡存在性定理和阿罗的公平不可能存在定理）为例子来说明数学家认识世界和理解问题的思维方式，以及存在性的重要性：阿罗的一般均衡存在性，奠定了整个微观经济学的逻辑基础–微观经济学因此成为科学而不是幻想或民科；阿罗的公平不可能存在定理，摧毁了西方经济学界上百年努力发展，并是整个应用经济学三大支柱之一的福利经济学的逻辑基础，使其一切理论成果和政策结论成为泡影。
一、微积分
数学分析是微积分基础上发展起来的，所以先说说微积分。
微积分的基本思想是以直为曲，也即用直线来逼近曲线，在中国古代，刘徽，祖冲之计算圆周率用的割圆术就是典型的微积分方法，三国时期的刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”魏晋南北朝时期的祖冲之说的更简单：以曲为直逼近。在古代巴比伦，希腊都用这种方法来处理曲线计算问题，有史可查的记录是公元前三世纪，古希腊的阿基米德计算抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积时，就用了直线逼近。
所以在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）发明微积分之前，很多实际上的微积分的工具已经开始运用在科学和工程之中。例如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都用这种以直为曲的逼近方法计算工程问题。
但是微积分为什么说是十七世纪牛顿和莱布尼茨发明的呢，我觉得主要是两点：第一点是引入了函数概念来描绘变量；第二点是发明了一套符号体系，可以计算各种初等函数微分（初等函数简单说就是多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数）。
牛顿和莱布尼茨发明的最原始的微积分可以解决以下问题：
求即时速度的问题；求曲线的切线；求函数的最大值和最小值；求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等等。
牛顿和莱布尼兹最本质的贡献是把求切线问题（微分学的中心问题）和求积问题（积分学的中心问题）变成一个问题。 这就是著名的牛顿–莱布尼兹公式。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的基本思想是以曲为直，逐步逼近，其中创造是引入了无穷小量Δ，因此微积分也称为无穷小分析。
不过他们两个有区别，牛顿从运动角度入手，莱布尼茨从几何角度路入手。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
莱布尼茨1684年发表世界上最早的微积分文章：《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，创立了现代的微分符号和基本微分法则（远远优于牛顿的符号，现在使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨创造的），1686年，莱布尼茨发表了人类第一篇积分学的文章。
微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解。例如牛顿应用微积分及微分方程从万有引力定律推导出了开普勒行星运动三定律。
微积分也极大的推动天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学等的发展。
由于争抢微积分发明权，欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立，英国数学陷入牛顿的“流数术”中停步不前，英国数学后来比欧洲整整落后了一百年。
虽然原始微积分是一种强大计算工具，但是从逻辑上讲，牛顿和莱布尼茨的工作都是很不完善的，他们为了计算微分，引入的在无穷和无穷小量概念，其实没有说清楚是个什么东西，例如牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨干脆回避解释。无穷小的逻辑基础存在的问题导致了第二次数学危机的产生（这个在介绍现代数学基础的帖子里已经介绍了，不重复）。
19世纪初，法国的柯西对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来德国的魏尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分在逻辑上站住脚，而不仅仅是一种计算工具。
微积分的基础概念是函数和极限。前者是微积分的工作对象，后者是微积分的基本工作技巧。
1、函数
函数概念是人类一个很伟大的发现，价值不下于对于数的发现，也是高度抽象的产物。
不过函数的思想却很早，至少在公元前就有了：因果关系，也即有因必有果，一个因对应一个或多个果，或者一个果对应多个因。
这在中国《易经》中已经有成熟的体现（其实《易经》就是64变量的函数论），正因为有了这种因果关系概念，中国远古时代我们先人就有了成熟精妙的辩证法（比黑格尔的辩证法高级多了，精细多了）。西方辩证法也是在有了成熟的函数概念后才成熟的。恩格斯就说过：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学”。
不过近代函数概念直接来源于代数方程中对不定方程的求解。
笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，引入了现代函数的思想。英国人格雷果里在1667年论文《论圆和双曲线的求积》给出了函数的定义：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是加减乘除开方五种代数运算以及求极限运算。
不过现在我们看到的函数定义来自于德国人莱布尼兹，他在1673年论文中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。直接定义了：函数表示依赖于一个变量的量。
紧接着函数概念被不断改进，第一个重要改进是瑞士人约翰.伯努利于1698年给出的：由变量和常量用任何方式构成的量都可以叫做的函数。这里的任何方式包括了代数式和超越式。
第二个重要改进是1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义：变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的。现代函数的符号就是欧拉发明的。欧拉还区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。
1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数。这个定义，为辩证法数学化打开了大门。
第三次重要改进是从函数的几何特性开始的，是1746年达朗贝尔给出的，把曲线称为函数（因为解析表达式在几何上表示为曲线）。但是后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个新的定义：平面上随手画出来的曲线所表示的x与y的关系。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的）。
在整个十八世纪，函数定义本质就是一个解析表达式（有限或无限）。
第四次最重要的改进是1821年柯西在《解析教程》中，给出了如下函数定义：在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数。这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的变化一词。函数是用一个式子或多个式子表示，甚至是否通过式子表示都无关要紧。
不过函数精确定义是德国人狄利克里于1837年给出的：若对x（a≤x≤b）的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y是x的函数。这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调和突出函数概念的本质，即对应思想。
对应思想是人类伟大的发现，后来的映射，同构，同态等等概念来源于此，这是这个概念最伟大的地方。
当然我们知道狄利克里伟大，主要不是他给出函数的科学定义，而是他给出了著名的狄利克里函数，这个函数是难以用简单的包含自变量x的解析式表达的，但按照上述定义的确是一个函数。
为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下补充：“函数y=f（x）的自变量，可以不必取[a，b]中的一切值，而可以仅取其任一部分”，换句话说就是x的取值可以是任意数集，这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数，可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非常广泛的概念。但是，自变量及函数仍然仅限于数的范围，而且也没有意识到“函数”应当指对应法则本身。
最后，我们要说说现代数学理解的函数（来自于美国人维布伦）：设集合X、Y，如果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射，记作f：X–>Y，y=f（x）。
不过从布尔巴基以后，基于数学结构的函数概念更进一步抽象，从函数、映射进化到关系：
1939年布尔巴基用集合之间的关系定义了函数：设E和F是两个集合，E中的每一个元素x和F中的每一个元素y之间的一个关系f称为函数，如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它们满足给定的关系。记作f：E→F。在布尔巴基的定义中，E和F不一定是数的集合，函数是集合之间的一个关系。也即设集合E和F，定义E与F的积集EF如下：EF＝{（x，y）|x∈ E，y∈ Y}。积集EF中的一个子集f称为E与F的一个关系，若（x，y）∈ f，则称x与y有关系f，记为xfy,若（x，y）不属于f，则称x与y无关系f。设f是x与y的关系，即f∈XY，如果（x，y）∈f,（x，z）∈f ，必有y=z，那么称f为X到Y的映射或函数。
这个定义回避了对应这种模糊不清的描述语言，而且把函数从单纯的数的概念推广到一切对象，例如结构，图像，集合等等。
不过微积分要处理的函数概念还是原始的，甚至只能处理初等函数。特点就是函数自变量的变化范围是数域，也即函数定义域与因变量的变化范围值域都是数域。这就是微积分的工作对象。这个对象可以描述一部分基于初等函数规律描述的变量跟结果的因果关系，通过对这种因果关系的分析和计算，人类就能预测或控制符合相应初等函数规律描述的事件或事物的因果关系，例如各种工程设备，武器系统等等，就能建立工业文明。
2、极限
极限是微积分的主要工作技巧。整个数学分析就是建立在极限概念上（包括级数）来处理初等函数因果关系的一门学科。
极限技巧一般是：对无法把握的连续变量，用可以计算的序列（例如数列，时间序列，多项式序列等等）逐步逼近变量，并能够证明这些序列可以无限逼近所求的未知量，然后计算这个序列的极限就可得到变量。
极限思想是微积分的基本思想，函数的连续性，导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
所以可以说：数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科。
极限的思想在刘徽割圆术就有了，但是仅仅是一种计算方法，而不是一个思维方式。真正的现代极限思想来自于16世纪荷兰人斯泰文计算三角形重心过程中，用逐步逼近方式逼近重心。
牛顿和莱布尼茨最早并不是用极限思想来建立微积分的，他们的概念基础是无穷小，但是由于无穷小是个逻辑上有瑕疵的概念，导致微积分的逻辑基础无法自洽。例如牛顿用路程的改变量ΔＳ与时间的改变量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示运动物体的平均速度，让Δｔ无穷小，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分，他并没有极限概念，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。这是一种几何直观而不是逻辑，就像小孩在纸上顺便划一下圆，就说是太阳。所以牛顿说不清楚他理解的无穷小到底是是什么。其实牛顿的说法如果用极限概念，很容易在逻辑上说清楚：如果当变量（例如时间t)无限增大或变量的差无限接近0时（Δｔ–>0)，则ΔＳ／Δｔ无限地接近于常数Ａ，那么就说ΔＳ／Δｔ以Ａ为极限，这个极限就是s（路径函数）在t0时的导数。
不过上述无限的概念仍然是几何直观的，并没有用逻辑描述出无限这个过程是什么，也没有定量地给出ΔＳ和Δｔ两个无限过程之间的数量联系，所以在逻辑上仍然有漏洞。
所以牛顿和莱布尼兹的微积分不断收到怀疑和攻击，例如最常见的质疑是贝克莱大主教的：在瞬时速度概念中，究竟Δｔ是否等于零？如果说是零，怎么能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢？这就是数学史上所说的无穷小悖论。
牛顿由于没有极限概念，无法回答这种质疑，只能混战。主要原因是微积分起源于人类计算需要从常量扩展到变量，但是牛顿采用处理常量的传统思想来处理变量。
18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人明确表示极限是微积分严格化的基础。其中最接近现代定义的是达朗贝尔的极限定义：一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。但是这些定义都无法摆脱对几何直观的依赖。例如什么叫“接近”，逻辑上的含义是什么，其实还是几何直观。
现代极限概念来自于柯西，19世纪，柯西出版的《分析教程》定义：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，也即无穷小不是似零非零，无穷小非零，只是其极限为零。
魏尔斯特拉斯把柯西的语言翻译成ε–δ语言，给微积分提供了严格的理论基础。所谓limaｎ(n–>∞)＝Ａ，是指：如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立。
这个定义，借助不等式而不是几何直观，通过ε和Ｎ之间的关系，定量刻划了两个无限过程之间的联系。这个定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
这个定义，本质揭示了无限与有限有本质的不同：无限个数的和不是一般的代数和，它是部分和的极限，是动态过程，而非静态计算结果。 举例来讲，用任何静态计算，都无法计算出变速直线运动的瞬时速度，因为速度是变量。这其实就是量变和质变的一个例子：量变能引起质变。例如对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就变成圆，多边形面积便转化为圆面积，这就是量变到质变，这就是极限概念的本质。极限是区分初等数学和高等数学的分界线，初等数学处理静态问题，高等数学可以处理非静态问题了，例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题。
极限概念中，最重要的定理，非魏尔斯特拉斯的多项式逼近连续函数定理莫属，这个定理的简单表述是：闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近。
这个定理意味着任何连续函数，都能构造一个多项式函数来逼近它，而多项式函数的导数，微分，积分的计算，简单易行，也即这个定理解决了连续函数的近似计算的逻辑基础问题：存在性。
这个定理最著名的证明是苏联数学家伯恩斯坦构造的著名的伯恩斯坦多项式，这个方法开启了函数构造法这一研究领域（当然对周期性的函数，还可以用三角级数，也即傅利叶级数逼近）。用多项式函数或三角级数逼近连续函数，是现代工程解决问题的主要方法，例如通信领域，如果不懂傅利叶级数，基本寸步难行，在流体力学、结构力学和弹性力学领域，不用多项式函数逼近，也基本无法计算海量的变量函数。函数构造方法其实是计算数学算法的基础（伯恩斯坦多项式符号太多，无法介绍，有兴趣可以上网搜索：伯恩斯坦多项式即可，有魏尔斯特拉斯定理用伯恩斯坦多项式证明的全过程）。
魏尔斯特拉斯本人最初的证明，是使用的核函数（正态核），并将核函数展开成一致收敛的幂级数，截取前面有限部分就构造出了逼近多项式。现在教材上选取的核函数是Landau核，这个核函数本身就是多项式，因此相比原证明减少了一步，但本质没有改变。魏尔斯特拉斯本人最初的证明不如伯恩斯坦的证明那么直截了当，那么优美（可以翻教科书参考，如果想详细了解过程，可以看菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，这是经典微积分教材）。当然这个定理最直观的证明是勒贝格的折线逼近法：闭区间上的连续函数可以用折线逼近 （可以查书）。
极限是微积分的核心概念，微积分处理初等函数变化，一般都涉及无穷概念，无穷概念只有从极限角度理解，才能正确描述和把握，其实描述极限的语言体系是ε–δ语言是一个相当于公理体系的定义，ε–δ意义下的极限是一种公理定义下的逼近，这种逼近不是几何描述的，所以没有逻辑悖论的可能。
逼近的常见技巧是放缩和夹逼，也即不等式是极限的主要技巧。
微积分中讨论的连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等等概念都是基于极限的思想方法给出。
3、连续
前面说过，微积分主要对象是初等函数，初等函数的本质性质就是连续，就像一元n次方程的根的本直性质的是对称一样，这是很本质的核心问题，当然微积分必须抓住。
所以换句话说，微积分主要工作对象就是连续函数。其实人类在直到牛顿莱布尼兹时代，并不知道还有非连续的函数概念。预先假定都是连续的，而且他们对连续函数理解仅仅是几何直观，把能一笔画成的曲线所对应的函数叫做连续函数。例如伽利略所研究的落体运动，开普勒所研究的绕日运转的行星所扫描的扇形面积，牛顿所研究的流等都是连续变化的量。
所谓连续，直观解释就是运动变化的过程连绵不断，连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型。
微积分是以直为曲的，所以对连续函数也要进行这种处理，例如柯西和魏尔斯特拉斯就用离散的多项式来逼近连续函数，这就是极限理论的由来，有了极限，才开始真的能够把握连续函数的性质。
最早人类理解连续函数，就是当x逐渐改变时，函数f(x)的相应变动也是逐渐的，不会有任何突增或突减的跳跃式振荡。但这种理解毫无用处，因为既不能计算，也不能控制。
函数连续的精确表述：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，任给ε大于零，存在δ大于零，当｜x-x0｜<δ时，有｜f(x)-f(x0)｜<ε,则称函数f(x)在x0点连续。
这就是数学分析的基本语言：ε–δ语言，不熟悉这套语言体系，无法学会数学分析。
用ε–δ语言定义的连续函数，就能计算其极限问题 ，这是微积分的重要内容，因为微分本质就是计算极限。
而连续函数求极限这种复杂问题本质是可以转化为求函数值的问题的，这就可以大大简化求极限难度。
我们知道，函数的连续性是一个局部性质，对区间也不例外。但如果是闭区间上的连续函数，却能把局部性质转化为整体性质，象闭区间上连续函数的有界性、最大最小值性、介值性、根的存在性、一致连续性等。
用ε–δ语言，我们就能把握连续函数的性质：
连续函数的局部性质：若函数f在点x0连续，则f在点x0有极限，且极限值等于函数值f(x0)。根据这个性质，可以容易证明下述定理：
局部有界性定理：若函数f在点x0连续，则f在x0的某邻域U(x0)内有界。
局部保号定理：若函数f在点x0连续，且f（x0）>0（或<0），则对任何正数r<f(x0)（或r<-f(x0)），存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)有r<f(x)（或r<-f(x)）。
四则运算定理：若函数f和g在点x0连续，则f±g，f*g，f/g（这里g(x0)≠0)也都在点x0连续。
复合函数定理：若函数f在点x0连续，g在点uo连续，u0=f(x0),则limg(f(x))(x–>x0)=g(limf(x))(x–>x0)=g(f(x0))海涅（Heine)定理：limf(x)(x–>x0)存在的充分必要条件是对任给的序列{xn}，若满足limxn(n–>∞)=x0(xn≠x0)，则有limf(xn)(n–>∞)存在。
最大、最小值定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值；或称函数f在[a,b]上达到最大值。
推论（有界性定理）：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界。
介值性定理：设函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a）≠f(b）。若μ为介于f(a）与f(b）之间的任何实数（f(a）<μ<f(b）或f(a）>μ>f(b）），则至少存在一点x0∈(a,b)使得f（x0）=μ。
根的存在定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a）与f(b）异号，则至少存在一点x0∈(a,b)使得f（x0）=0。即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。
反函数连续定理：若函数f在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f^-1在其定义域[f(a),f（b）]或[f（b）,f(a)]上连续。
初等函数的连续定理：任何初等函数在它的定义域上都连续。
4、导数
导数最初定义是1823年柯西在《无穷小分析概论》中定义的：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。
现在导数定义是19世纪60年代魏尔斯特拉斯用ε–δ语言定义的：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果任意给ε>0,存在常数a和δ>0,当│Δx│<δ时,使│Δy/Δx-a│<ε，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f’(x0)，也记作y’│x=x0或dy/dx│x=x0。
导数的几何直观就是函数形成的曲线在一点的切线的斜率。
最早导数主要用于求变速运动的瞬时速度（计算弹头的穿透能力或动能必须知道弹头接触目标的瞬时速度）和求曲线上一点的切线。牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
牛顿的想法很直观，如一辆汽车在10小时内走了600公里，它的平均速度是60公里/小时。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60公里/小时。设汽车所在位置s与时间t的关系为：s=f（t）,那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：
(f(t1)-f(t0))/(t1-t0)，当 t1与t0无限趋近于零时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，瞬时速度就近似等于平均速度 。
自然就把当 t1–>t0时的极限 lim(f(t1)-f(t0))/(t1-t0)作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这显然就是导数。
显然根据上述定义，导数是通过极限对函数进行局部的线性逼近，所以导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
显然不是所有的函数都有导数（例如产生突变点，奇点的函数就没有导数），一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。显然很容易证明：可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
如果函数y=f(x)在开区间内每一点都可导，就称函数f(x)在区间内可导。这时函数y=f(x)对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，这个函数为原来函数y=f(x)的导函数，记作y’、f’(x)、dy/dx或df(x)/dx，简称导数。
显然，导数运算满足一下性质：
(u+-v)’=u’+-v’；（uv）’=u’v+uv’；（u/v)’=(u’v-uv’)/v^2。
根据上导数定义和性质，很容易计算出一些常见函数的导数：
y=x^n，y’=nx^(n-1)；y=a^bx，y’=ba^bxlna；y=a^u，y’=u’a^ulna；y=e^bx，y’=be^bx；y=e^u，y’=u’&e^u；y=loga^x，y’=1/(xlna)；y=lnx，y’=1/x；y=sinx，y’=cosx；y=cosx，y’=-sinx；y=tanx，y’=sec^2(x)；y=cotx，y’=-csc^2(x)；y=secx，y’=secxtanx；y=cscx，y’=-cscxcotx；y=arcsinx，y’=1/(1-x^2)^1/2；y=arccosx，y’=-1/(1-x^2)^1/2；y=arctanx，y’=1/(1+x^2)；y=arccotx，y’=-1/(1+x^2)；y=shx，y’=chx。
在实际上应用中，大部分常见的函数都上述函数的和、差、积、商或相互复合的结果。所以一般情况下，函数的导函数计算是简单容易的。
导数的几个用途：
判别单调性：若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。
求极值：如果存在一点，使得导数在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。
自然推论：若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
判断函数凹凸性：如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，如果在某个区间上二阶导数恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
导数的最著名应用是中值定理和洛必达法则。
中值定理应包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理。
罗尔中值定理：如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f’(ξ)=0。
几何上，罗尔定理含义是一条连续的曲线弧 ，如果除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等，则弧上至少有一点的切线是水平的。
拉格朗日定理：如果函数 f(x) 满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) 成立。
柯西定理：如果函数f(x)及F(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；对任一x∈(a,b)，F’(x)≠0，那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
泰勒公式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x0)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)/2!(x-x0)^2,+f’’’(x0)/3!(x-x0)^3+……+f^(n)(x0)/n!(x-x0)^n+Rn其中Rn=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x,0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（f^(n)(x0)是f(x0)的n阶导数，不是f(n)与x0的相乘）推论：麦克劳林公式：
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)/2!*x^2,+f’’’(0)/3!*x^3+……+f^(n)(0)/n!*x^n+Rn其中Rn=f^(n+1)(θx)/(n+1)!*x^(n+1),这里0<θ<1。
达布定理：若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值。
推广：若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。
洛必达法则：设当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；在点a的去心邻域内，f’(x)及F’(x)都存在且F’(x)≠0；当x→a时limf’(x)/F’(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 limf(x)/F(x)=lim f’(x)/F’(x)。
又设当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；当|x|>N时f’(x)及F’(x)都存在，且F’(x)≠0；当x→∞时limf’(x)/F’(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 limf(x)/F(x)=lim f’(x)/F’(x)。
中值定理经常用于证明方程根的存在性，证明恒等式，证明不等式，研究函数的单调性，求函数极限（用罗必达法则求0/0，∞/∞函数极限是常用手段），求函数的极值与最值，讨论函数的凸凹性，求函数的拐点 ，求函数的渐近线，描绘函数的图象等等。具体例子可以查教科书。
5、微分
其实导数和微分概念是一致的，没什么更多可说的。
函数y = f(x)的微分dy = f’(x)dx。可导与可微是等价的，若求出了函数在一点的导数，再乘以dx即得该点的微分；若求出了函数在一点的微分，再除以dx即得该点的导数；因此导数又叫做微商。
需要注意的是函数在x点的微分是自变量增量的线性函数，因为微分是对函数的局部变化的一种线性描述。如果一个非线性函数某点可微，其在某点的自变量有一个微小的改变时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量△x，可以表示成△x和一个与△x无关，只与函数及有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在△x上的值。另一部分是比△x更高阶的无穷小，也就是说除以△x后仍然会趋于零。当改变量很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在x处的微分。
所以微分主要用于计算函数值的近似值。
但是不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点不可微，就无法用线性函数逼近。
在现代微积分中，微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。
微分有以下运算法则：
连锁律：dy/dx=dy/dz*dz/dx；乘法律：d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx）；除法律：d(u/v)/dx=(v(du/dx)-u(dv/dx))/v^2dy/dx被称为一阶导数，d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2被称为二阶导数，以此类推，d^ny/dx^n被称为n阶导数。
稍微多说一句是法线。曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。函数y=f(x)(x0,y0)点切线的斜率为m=dy/dx在(x0,y0)的值，那么法线的斜率为-1/m。
6、积分
积分原始思想的萌芽很早，甚至早于微分思想，主要用于计算物体运动的路程、变力作功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题，现在资料据说古希腊德莫克利特、阿基米德、中国的刘徽都用积分思想计算过面积和体积，当然这些方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也没有逻辑基础保证其是正确的。 再晚一点，开普勒的“同维无穷小方法”、卡瓦列利的“不可分量法”、费马的“分割求和方法”更是典型的积分思想。
不过真正的积分发明者还是牛顿与莱布尼兹，因为他们揭示了微分与积分的内在联系–微积分基本定理，也即牛顿–莱布尼茨公式。
积分是微积分的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。
定积分严格的数学定义是黎曼用的方式极限给出的，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限，也即对于一在区间[a,b]上之给定非负函数f(x)，f(x)所代表的曲线与Ox坐标轴所夹图形的面积S=∫_b^af(x)dx=lim∑f(ti)(xi+1-xi)(i=0….n-1)(n–>∞）上述符号定义：在闭区间[a,b]中取一个有限的点列a=x0<x1<x2<…<xn=b。每个闭区间[xi,xi+1]构成一个子区间。定义λ 为这些子区间长度的最大值：λ = max(xi+1 − xi)，其中0≤i≤n-1。
一个闭区间[a,b]进行分割a=x0<x1<x2<…<xn=b后，在每一个子区间中[xi,xi+1]取出一点 xi≤ti≤xi+1。
黎曼定义的积分的就是是微分的无限积累，或者说定积分是无限个无穷小量之和。核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。
所以定积分是一种极限,这种极限不同于数列的极限也不同于函数的极限。它是和式的极限，对于体现自变过程的变量的每一个值，不仅区间的分法有无穷多种，而且对于每一个分法，介点也有无穷多种取，因而相应的和式一般有无穷多个值。但它仍然有着与数列极限、函数极限的本质上的相同之处，即当[xi,xi+1]无限变小时，相应的一切和式与某一定数的距离能够变得并保持任意的小。
微积分的最初发展中,定积分即黎曼积分。在实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况，如勒贝格积分。
显然，黎曼积分定义有一个自然问题就是这个黎曼和式是不是一定有极限，极限与子区间划分方法有无关系。
前者就是所谓的可积问题，后者是极限收敛问题。
决定是否可积一般依赖于四个因素：函数、区间、区间的分法、介值的的取法。
很容易证明，当函数在区间上可积时，，不依赖于区间的分法与介值的取法，函数积分数字只与函数和区间两个因素有关。所以在可积的条件下，当求某函数在指定区间上的定积分时，往往可以取一个特殊的分法（如n等分 ），取介值为划分内的特殊点（如左或右端点）。
可以证明下述结论：
★可积函数必有界，有界函数不一定可积，无界函数一定不可积；★连续函数一定可积；★有有限个间断点的有界函数一定可积；★有无限多个不连续点的单调函数一定可积 ；★区间上有无限个不连续点的有界函数（只要间断点的测度为0）也可积。
定积分的主要应用是求和，例如平面图形的面积，求已知截面面积的立体的体积，求旋转体的体积，求曲线的弧长，求旋转曲面的面积，求变力所作的功，计算运动物体的路程，以及物体之间的万有引力等等。 另外，定积分可以作为定义函数的一种新的工具，例如连续函数的变上限积分是函数的一个原函数，又知道某些函数的原函数并不是初等函数。如椭圆积分就不是初等函数，这时我们就把这个积分本身，作为此函数的定义，此为出发点来研究函数。
微积分最基础的定理是牛顿和莱布尼茨分别独自发现的：
一个可积函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。也即：如果函数f(x)在区间[a,b]上可级，并且存在原函数F(x) ，则：
∫_b^af(x)dx=F(b)-F(a)。
这个发现给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
这个定理是微积分存在的基础，但是证明极其简单。
证明：因为函数f（x）在区间[a,b]上可积，任取区间的分割a=x0<x1<x2…<xn=b，在区间xi,xi+1上任取一点ζi,则有lim∑f(ζi)(xi+1-xi)(i=1,…n-1；n–>∞)=∫_b^af(x)dx，由于函数f是函数F的导函数，所以根据拉格朗日中值定理得F(xi)-F(xi-1)=f(ζi)(xi+1-xi)其中ζi∈(xi-1,xi) ,因此有F(b)-F(a)=lim∑F(xi)-F(xi-1)(i=1,…n-1；n–>∞)=lim∑f(ζi)(xi+1-xi)(i=1,…n-1；n–>∞)=∫_b^af(x)dx。
牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式，它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都要用到。
下面说说不定积分。不定积分是是已知导数求原函数，用公式表示是:∫f’(x)dx=f(x)+c而前面已经说了，定积分是求面积（Riemann和的极限），不定积分只是求导数的逆运算，所以不定积分与定积分是完全不同的两个概念。但是，牛顿莱布尼兹公式把它们连接在一起。
不过，函数在所讨论区间上的Riemann和的极限的存在性不取决于该函数的不定积分的存在性，函数在所讨论区间上的不定积分的存在性也不取决于该函数的Riemann和的极限的存在性。
因为容易证明：
函数可积不一定该函数存在原函数：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，和在区间[a,b]上单调有界,则f(x)都在在[a,b]上可积，由牛顿莱布尼兹公式知道，一个函数如果可导，那么它的导函数是不可能存在第一类间断点的，所以说一个函数如果存在第一类间断点，那么它是不会有原函数的，也即可积并不能保证有原函数。
函数连续只是可导的必要条件，而非充分条件（如果一个函数可导，其必然连续。如果一个函数连续，则不一定可导，如Y=│X│)。
同时，也容易证明，函数有原函数但该函数不一定可积。例如，函数 y=x^(3/2)*sin(1/x)各点可导，但由于在闭区间[-1,1]上有无界点 ，故在[-1,1]上上不可积。
所以函数可积问题，是传统微积分没能解决的一个问题（有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积，一个黎曼可积的函数列收敛到的那个函数不一定是黎曼可积的等等），直到实变函数发展起来，扩展了可积的概念，例如勒贝格积分，也扩展了基于勒贝格测度理解的连续函数的概念，这个问题才圆满解决。
显然，因为牛顿-莱布尼兹微积分基本公式，导数的公式逆向就是初等函数的积分公式，不必多说。
积分计算有非常多的技巧，换元，变量替换，逼近，因式分解等等，可以看教科书，里面有非常多的计算技巧例子。多做习题。华罗庚是世界现代数学家中计算能力名列前茅的变态，他的很多发现或定理证明都是算出来的，晚年的华罗庚为保证自己思维状态，每天没事干就是算积分玩，而且是极难的积分。这个不是传说，是亲眼所见。原来的科大数学系学生（77，78,79三级），计算积分和矩阵，能力在中国所有大学中，无人能及，科大学生不能把华罗庚的线性代数的打洞公式和积分的变换技巧用得风生水起，都不算合格学生。
7、多元微积分
传统多元微积分的基本概念都是一元微分与积分的基本推广，1687年牛顿就提出了偏导数和重积分的思想，欧拉在1769年给出了二重积分及其累次积分与换元计算方法，拉格朗日在1773年给出了三重积分及其累次积分与换元计算方法，雅可比在1833年给出了变量替换中的雅可比矩阵表达。不过当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数），但仍然有微分的概念。
下面我们只介绍把一元函数微积分二元函数微积分情况，因为扩展到多元函数是类似的。
（1）、二元函数连续性的定义
多元函数微积分的推广，最初是从几何角度开始的。
二元函数u=f(x,y)的变量(x，y)在一个平面直角坐标系中代表一个动点P，它的全部可能的位置形成一个平面点集S。从而函数关系f便把动点P的每一个位置(x，y)对应到变量u的一个惟一确定的数值（函数值）f(x,y)=f(P)。于是整个函数便表现为变量u按照这个对应关系随着动点P在定义域S上变化而变化，这样，二元函数的概念便同一元函数的一致。
当动点P由一个位置 P(x,y)变到另一个位置P1(x1，y1)时,这变化由它的位移向量PP1^─>={x1-x,y1-y}=｛Δx,Δy｝=ΔP来刻画,这变化的大小便由这向量的长度│ΔP│=((Δx)^2+(Δy)^2)^1/2来度量。相应的u的变化Δu其大小由|Δu|来度量。
Δu=f(p1)-f(p)=f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)于是多元函数在一点P 处的连续性也可以用一元函数连续型定义，也即，在P1无限趋近于P的过程中，｜Δu｜随着｜ΔP｜而无限变小。这就是说，多元函数u连续，就是任意给定ε>0，都存在一个δ>0，使得只要│ΔP│<δ，就有|Δu|<ε。
所以多元连续函数的基本性质也同一元连续函数的一样：
★多元函数在一有界闭集 S上定义，其在S上处处连续，则至少在某一点处达到最小值m,又至少在某一点处达到最大值M；★多元函数连续性在整个集合 S上是一致的（即δ不依赖于P而对于S上的每个点P都有效）；★如果S是连通的（即S上每两点都能够用完全位于S上的一条折线连接起来）, 则每一个中间值μ(m≤μ≤M)都是某一点处的函数值；★多元函数如果连续，它在S的每个内点处都可以分解成一元的情形：函数u在一点P的某个领域(δ)内处处连续,则必定在其内部的一个方邻域[δ]上一致连续，而在这个方邻域上的变化量具有向量分解式：
Δu=Δ_xu+Δ_yu式中Δ_xu=f(x+Δx,y)-f(x,y),Δ_yu=f(x+Δx,y+Δy)-f(x+Δx,y)分别作为一元函数g(x)=f(x,y)，h(y)=(x+Δx,y)，显然其连续性分别关于y或x+Δx是一致的（即相应的δ不依赖于y或x+Δx ）。
（2）、偏导数
定义了多元函数连续性，就能定义导数了。显然用Δu=Δ_xu+Δ_yu 和g(x)=f(x,y)，h(y)=(x+Δx,y)能够证明在｜ΔP｜趋向0的过程中，变化量Δu随 Δx、Δy趋向0的依赖关系。
这就要用到一元函数g,h变化率，即导数g(x)、h(y)。假定g,h的导数它们在P(x,y)的附近都存在，并分别记为f(x,y),f(x+Δx,y),∂u/∂x=f_x’(x,y)=lim(f(x+Δx,y)-f(x，y))/Δx(Δx–>0),∂u/∂y=f_y’(x,y)=lim(f(x,y+Δy)-f(x，y))/Δx(Δx–>0)。
这种对自变量之一(其余作为参变量)的导数称为偏导数。利用这些偏导数的存在和一元微分学的中值定理，可以得到：
Δu=Δ_xu+Δ_yu =f_x’(x,y)Δx+f_y’(x+Δx,y+θΔy)Δy+α（Δx）式中θ介于0到1之间,α为无限小量。当偏导数连续时，可以进一步写成：Δu=∂u/∂xΔx+∂u/∂yΔy+α（Δx）+β（Δy），α、β为无限小量。
（3）、全微分
函数u在点P处是可微的定义：
Δu=Δ_xu+Δ_yu =f_x’(x,y)Δx+f_y’(x+Δx,y+θΔy)Δy+α（Δx）表明，在点P 处，变化量Δu随着Δx、Δy 趋向0的过程中，存在着近似线性的依赖关系：Δu=AΔx+BΔy+αΔx+βΔy,式中主要部分的系数A、B不依赖于 Δx、Δy，而余项部分的系数α、β是无限小量。
并把这个线性主要部分为u的一个(全)微分，记为du=AΔx+BΔy令Δx→0,Δy＝0或Δx＝0,Δy→0，即可推出:A=∂u/∂x,B=∂u/∂y,所以只要微分存在，它的系数就必然是偏导数，因而是惟一的。
在某些特殊情形,这些偏导数都存在，du==∂u/∂xΔx+∂u/∂yΔy关系却不成立；所以不同于一元函数的情形：只有偏导数的存在还不能保证微分存在。
不过偏导数的连续性可以保证微分存在。也即函数是连续可微的，所以这时u的微分可以写成du==∂u/∂xdx+∂u/∂ydy。具体证明可以查教科书，这里不啰嗦，因为很简单（因为x,y是动点P的连续函数）。
（4）、变量替换
变量x、y既然当作动点P的函数，也就可以表达为：动点P在任一别的坐标系(r,s)中的坐标的函数：x=φ(r,s),y=ψ(r,s)假定这些坐标函数也在其定义域S上是处处连续可微的，也就是说，出现在下列微分等式中的系数都是连续的：
dx=∂x/∂rdr+∂x/∂sds，dy=∂y/∂rdr+∂y/∂sds,既然u关于(x,y)连续可微，那么根据微分教计算规则，得到：
∂u/∂r=∂u/∂x*∂x/∂r+∂u/∂y*∂y/∂r，∂u/∂s=∂u/∂x*∂x/∂s+∂u/∂y*∂y/∂s。
这些偏导数都是关于新变量(r,s)连续可微的函数。于是u也关于(r,s)连续可微，因而得到：
du=∂u/∂rdr+∂u/∂sds=∂u/∂xdx+∂u/∂ydy。
这表明微分形式对于x,y为任何连续可微的函数都成立。这称为（一阶）微分的形式不变性。
变量替换规定了一个坐标平面上的动点P(x,y)随着另一坐标平面上的动点Q(r,s)而变动，因而定义了一个函数T:P=T(Q)。这样得到一个一个矩阵方程：
这里，偏导数所形成的矩阵称为雅可比矩阵。它是微分向量的系数矩阵，相当于一元函数情形的微分系数或导数。
如果动点P是在一个三维坐标空间(r,s,t)中，则函数应是三元的：
x=φ(r,s，t),y=ψ(r,s,t),雅可比矩阵则是：
以此类推，一元函数微分的主要定理都能推广到多元微分中。
（5）、重积分
一元函数的定积分，作为黎曼积分和的极限，推广到二元函数几乎是直接的。只不过把积分区间换成了两个区间X(α≤x≤A)和Y(b≤y≤B)，它们的乘积R=X×Y是包含有界闭区域S的（各边平行于坐标轴的）最小的矩形。对于R上不属于S的点，取函数值为0,并仿照一元的情形作黎曼和数：
S_Δ=∑f(ζi,ηj)ΔxiΔyj,(ζi,ηj)∈Δxi*Δyj(i,j=1….n,m)分划(Δ)的细密程度由全部Δxi,Δyj的最大值‖Δ‖来度量。于是，可以像一元的情形一样来定义二重积分：
∫∫_Sf(x,y)ds=∫∫_Rf(x,y)dxdy=limS_Δ(‖Δ‖–>0)如果这个极限存在，就说函数f在区域S上是可积的。
可积的一个充分必要条件仍然是:函数有界并且几乎处处连续（即不连续点形成一个零测度集合）。不过，这里的零测度集合，作为平面上的点集，是指能用总面积任意小的矩形序列覆盖住。
在可积的前提下，二重积分可以写成：
∫∫_Sf(x,y)ds=∫_b^B∫_a_Af(x,y)dx,内层积分以y为参变量，在不可积（因而相应的y值形成一个一维零测度集合）时算作0。
面积微分dR=dxdy,作为一个微小矩形的面积，在坐标变换之下成为一个以向量｛∂x/∂rdr,∂y/∂rdr}和{∂x/∂sds,∂y/∂sds}为一对邻边的平行四边形的面积。
所以有二重积分的换元公式：∫∫_Sf(x,y)ds=∫∫_r*sf(x,y,z)(EG-F^2)^1/2drds。
（6）、三维空间的曲面积分
二重积分可以推广到三维空间中的一块曲面S上,只要这曲面是光滑的，即其上的动点P(x,y,z)的坐标能够表示成某一平面矩形S=r*s(α≤r≤A,b≤s≤B)上的连续可微的函数，而以(r,s)作为P的一种新的坐标（曲面坐标）。这里S的微小矩形（Δr）×（Δs）对应着 S上的微小曲面四边形 ΔS，后者的面积关于前者的面积。ΔrΔs 的线性主要部分便是曲面的面积微分dS。它等于以切线向量｛∂x/∂rdr,∂y/∂rdr,∂z/∂rdr}和{∂x/∂sds,∂y/∂sds,∂z/∂sds} 为一对邻边的平行四边形的面积：ds=(EG-F^2)^1/2，其中：
E=(∂x/∂r)^2+(∂y/∂r)^2+(∂z/∂r)^2，F=∂x/∂r*∂x/∂s+∂y/∂r*∂y/∂s+∂z/∂r*∂z/∂s，G=(∂x/∂s)^2+(∂y/∂s)^2+(∂z/∂s)^2从而面积分能够表示成二重积分：
∫∫_sf(x,y,z)ds=∫∫_r*sf(x,y,z)(EG-F^2)^1/2drds曲面S可以是逐片光滑的,积分便取为各片上的积分之和。
如果是三维空间的曲线积分，类似地考虑空间中一条光滑的(或逐段光滑的)曲线C上关于弧长的微分ds的积分：∫_cf(x,y,z)ds则有∫_cf(x,y,z)ds=∫_a^bf(x,y,z)(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)^1/2,这就与一个直线段a≤s≤b上的定积分没区别了。
实际上多元定积分在概念上的各种推广，在计算上仍都能回到定积分。
（7）、牛顿-莱布尼茨公式推广
我们知道，一元微积分之所以成立，就是靠牛顿-莱布尼茨公式。
多元微积分想成立，也得有这种把微分和积分联系起来的公式。
在一元微积分中，根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分是微分之逆，在多元微积分中，这个定理仍然是成立的。
二重积分推广：设函数f(x,y)在矩形区域D={│(x,y)│(a≤x≤b,c≤y≤d)}上连续，如果存在一个二元函数F(x,y),使得∂^2F(x,y)/∂x∂xy=f(x,y)，则二重积分∫_D∫f(x,y)dxdy=F(b,d)-F(b,c)更多重积分也有类似公式。
对曲线积分，也有类似公式。设D为单连通区域，P(x,y)和Q(x,y)在区域D上有连续的一阶偏导数，若存在一个二元函数u(x,y)，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy在区域D中任意取两个点A，B，则对连接A，B的任意一条光滑曲线L，都有:∫_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=u(B)-u(A)另外，必须熟悉的还有斯托克斯公式（格林公式），奥斯特罗格拉茨基公式（高斯公式）等等，只是这些公式没法在豆瓣显示，有兴趣的自己去查书。
多元积分的计算技巧主要是变量替换，教科书中有大量人类积累下来的变量替换的技巧例子，可以通过多做习题，积累下自己的计算技巧，熟能生巧，培养出自己强大的计算能力。
显然，介绍的都是最古典微积分在多元上函数上的推广，现代教科书没有这么复杂，简单明了，例如定义多元函数可微，一般是：
设f是从欧几里得空间Ω（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到R^m 的一个函数。对于 Ω中的一点x及其在Ω中的邻域 Λ中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h,lim |f (x+h) - f(x) - A(h)|/|h|= 0(h–>0),那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分，记作df_x。
如果f在点x处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。
当函数在某个区域的每一点x都有微分df_x时，可以考虑将x映射到df_x的函数：df : x–>df_x，这个函数一般称为微分函数。
而且利用一元微分性质，可以证明：如果f是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
在R^n（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画。
也可以证明如下结论：
可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素都存在，但反之不真。
可微的充分条件：如果函数f在一点x0的雅克比矩阵的每一个元素都在x0连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。
8、级数
级数主要两个用途，一个是构造新函数，一个是表示、逼近已知函数（主要用于函数的近似计算）。
在微积分中，会涉及一些初等函数之外的函数，一般都是用级数表达的，因为他们的级数形式，便于了解它们的性质。
级数的基本工具是泰勒级数（用有限项的多项式近似表示函数）和三角级数（傅利叶级数，表达周期性函数），级数主要用于连续函数的局部逼近和整体逼近，当然从逻辑上来讲，可以用无穷多项的多项式来准确地表示一个函数，这就是幂级数。利用函数的幂级数展开式，对研究函数的性质和计算都有着非常重要的作用。
当然，能表示成幂级数的函数必须具备任意阶可微的条件，这对于有些性质较差的函数（如分段函数），我们就不能展开成幂级数，此时付立叶级数却能满足这样的函数的展开。
级数理论的基础是极限，级数是一个无限求和的过程，它与有限求和有着根本的不同，即参与了极限运算，把极限及其运算性质移植到级数中去，就形成了级数的一些独特性质。
所以级数的第一个重要概念是收敛性（也即存在极限）。此外，级数的运算、函数项级数的一致收敛性、一致收敛级数的分析性质、函数的幂级数展开、函数的付立叶级数展开都是级数理论的基本内容。
（1）、数列级数
将数列un的项u1,u2,….,un用加号连接起来的函数就称数项级数简写为∑un，记Sn=∑un,如果当n–>∞时 ，Sn这个数列有极限，则说级数收敛，并以S为其和,否则就说级数发散。
级数收敛的柯西准则：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε。即级数充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。
如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。
有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数，判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法：若un ≥un+1 ，对每一n∈N成立，且当n→∞时lim un=0，则交错级数收敛。
对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛，则称变号级数绝对收敛。如果只有 ∑un收敛，但是∑|un|发散，则称变号级数条件收敛。（例如∑[(-1)^(n-1)](1/n^2)绝对收敛，而∑[(-1)^(n-1)](1/n)只是条件收敛）。
对条件收敛的级数有一个重要性质，也即黎曼定理：一个条件收敛的级数，在其项经过适当的排列之后，可以收敛到一个事先任意指定的数；也可以发散到+∞或－∞；也可以没有任何的和。
（2）、函数级数
如果级数的每一项依赖于变量x,x在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I，∑un(x)称为函数级数。
若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。
显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。
∑an(x-x0)^n叫幂级数，收敛域是一个以x0为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。
不过实际上常用的级数是傅里叶级数（三角函数构成的级数），傅利叶级数的收敛范围一般很复杂，研究它需要对实变函数论、调和分析和泛函分析知识。所以真的理解并掌握傅利叶变换，不熟悉实变函数是没法入门的。
函数级数一致收敛定义：在一个集合C上一致地收敛到它的和函数s(x)，是指对任意ε>0，对于每一个正数级数都存在一个自然数N（不依赖于x），使得当m>N 时│s(x）=s_m(x)│=│r_m(x)│<ε，对于一切属于C的x都成立。
这时级数的和函数s(x)是一个无限项的和，便可在整个集合C上通过特征性质继承有限项和的一些分析性质：
★逐项积分定理：设函数级数级数在有限闭区间α≤x≤b上一致地收敛，若级数的各项sN(x)都连续，则级数的和也连续并且可以逐项积分。
★逐项微分定理：通过微分与积分的互逆关系（微积分基本定理）能够把上述定理转变成逐项微分的形式：设函数级数级数在区间α<x<b内收敛，各项都具有连续的导数，若逐项取导数所得的级数在该区间内一致收敛，则原级数的和也具有连续的导数并且可以逐项微分。
（3）、函数级数收敛判定
显然下面一个主要问题是函数级数的收敛问题。因为一个函数级数在其收敛范围内代表一个函数，即它的和∑un(x)(n=1,…∞)=u(x)，当和是有限项时（∑un(x)(n=1,…M),这个级数和就是这个u(x)函数逐步逼近定义的一种方式。
在函数级数收敛研究过程中，经过约 200年，才发现一致收敛概念的价值：这种级数展开在收敛区间内可以逐项微分和积分并且收敛。
级数在逐项取绝对值之后就成为正项级数，显然可以依一致收敛性进行比较，特别是用一个常数级数进行比较，便有M判别法。
M判别法（魏尔斯特拉斯判别法）：假设｛un}是定义在集合C内的一个实数或复数函数的数列，并存在正的常数Mn，使得│un(x)│≤Mn对于所有的n≥1和C内所有的x成立。进一步假设级数∑Mn(n=1,…∞)收敛。那么级数∑un(x)(n=1,…∞)在C内一致收敛。（可由常数项级数收敛的柯西准则证明）。
（4）、泰勒级数
我们常用的级数函数之一是泰勒级数。
泰勒级数定义：如果f(x)在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数：
∑f^(n)(x0)/n!(x-x0)^n(n=0,…∞)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f^(2)(x0)/2!(x-x0)^2+…….+f^(n)(x0)/n!(x-x0)^n称为f(x) 在点x0处的泰勒级数。
在上述定义中，取x0=0，得到的级数∑f^(n)(0)/n!*(x)^n(n=0,…∞)称为麦克劳林级数。函数f（x)的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f(x)的麦克劳林级数一致。
如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。
一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。
定理一：设函数f(x)在x0的某个邻域N(x0,δ0)内具有任意阶导数，则函数 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是的泰勒公式中的余项Rn(x)满足limRn(x)=0,x∈N(x0,δ0)定理二：如果f(x)在区间（-R+x0,R+x0)能展开成泰勒级数∑f^(n)(a)/n!*(x-a)^n(n=0,…∞),则右端的幂级数是惟一的。
泰勒级数的重要性质是在研究幂级数收敛过程中得到的：可以严密证明幂级数在其收敛区间内展开式是唯一的，也即幂级数能够完全代表它的和函数参加分析运算（同时也证明了三角级数展开式不具有唯一性，所以三角函数的收敛集非常样复杂，这就是后来研究三角级数收敛性的学科调和分析能够成为数学主要学科的理由：问题复杂）。
由于幂级数可以逐项微分任意多次，所以幂级数本身就是它的和函数在收敛区间中心处的泰勒级数。所以一个泰勒级数的系数不一定要单纯通过累次微分级数而可以通过某些幂级数的分析运算来求得（因为微分次数越多计算越复杂）。
由于幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。这是泰勒级数最大的用处：简化计算。
同时，在复变函数中，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数，这样可以简化和拓展解析函数定义方式。
不过在工程中，泰勒级数主要用来近似计算函数的值。
必须强调一点是，对于一些无穷可微函数f(x)， 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数：f(x)=e^-1/x^2，当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，则这个f(x)x=0的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。
下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。
指数函数：e^x=∑x^n/n!(n=0,…∞)自然对数：ln(x+1)=∑(-1)^n+1/n*x^n(n=0,…∞) ,x∈(-1,1]几何级数：1/1-x=∑x^n(n=0,…∞),│x│<1正弦函数：sinx=∑(-1)^n/(2n+1)!*x^(2n+1)(n=0,…∞)余弦函数：cosx=∑(-1)^n/(2n)!*x^2n(n=0,…∞)
（5）、傅利叶级数
傅利叶级数或者傅利叶变换，是工程师的大杀器，对搞信号分析，模式识别的工程师，基本上就是居家旅游，吃饭睡觉的唯一工具。
由于傅利叶级数涉及很多波形图，豆瓣不支持，只能直观描述，有兴趣的去查教科书，可能才能清楚我说的是什么。
傅立叶贡献：猜想周期函数都可以展开为常数与一组具有共同周期的正弦函数和余弦函数之和。（但是未能严格证明，拉格朗日就反对他的论文发表，认为不能三角级数表达梯形或箱型周期函数。后来狄利赫里证明了三角级数在一定条件下的收敛唯一性，并用级数连续逼近可以表达梯形或箱型周期函数）。
傅利叶级数展开式中，常数表达的部分称为直流分量，最小正周期等于原函数的周期的部分称为基波或一次谐波，最小正周期的若干倍等于原函数的周期的部分称为高次谐波。因此高次谐波的频率必然也等于基波的频率的若干倍，基波频率N倍的波称为N次谐波，是N-1次泛音。不管几次谐波，他们都是正弦波。正弦波是基本波形。
所以简单说：傅利叶级数就是周期函数展开为一个三角级数，例如：
给定一个周期为T的函数f(t)=a0+∑ancos(nωt)+bnsin(nωt)，ω0=2π/T，ωt=2πt/T根据欧拉公式，也可以等价表示为：f(t)=∑ake^(jk(2π/T)t（k=-∞,∞)j为虚数单位,其中ak=1/T∫_Tf(t)*e^(-jk(2π/T)dt，其中e^(jk(2π/T)t是周期为T的函数，所以k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。
欧拉公式：
e^(jx)=cosx+jsinxcosx=[e^(jx)+e^(-jx)]/2sinx=[e^(jx)-e^(-jx)]/(2j)傅里叶最大的贡献是猜想了傅利叶级数的性质，而严格证明了傅利叶级数的收敛性则是狄利赫里。
狄利赫里定理：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：
在任何周期内，f(t)须绝对可积；傅里叶级数在任一有限区间中，f(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，f(t)只能有有限个第一类间断点。
定理结论是：满足狄利赫里条件的周期函数都可以展开为正弦函数和余弦函数的级数和，并且这个展开是收敛到唯一周期函数的。这是傅利叶变换的基础定理。
既然傅利叶猜想周期函数能够展开成三角函数的级数，那么三角函数的性质就很重要。三角函数最最重要性质是正交性，因为这是证明傅利叶级数收敛的唯一条件。
正交性定义：两个不同向量正交是指它们的内积为0。（这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，如果两个函数ψ1(r)和ψ2(r)满足条件：∫ψ1(r)ψ2(r)dτ=0,则称这两个函数相互正交。在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化）。
内积定义：设向量A=[a1,a2,…an]，B=[b1,b2…bn]，则向量A和B的内积表示为：
A·B=a1×b1+a2×b2+……+an×bnA·B = |A| × |B| × cosθ|A|=(a1^2+a2^2+…+an^2)^(1/2)；|B|=(b1^2+b2^2+…+bn^2)^(1/2)。
其中，|A| 和 |B| 分别是向量A和B的模，θ是向量A和向量B的夹角（θ∈[0,π]）。
若B为单位向量，即 |B|=1时，A·B= |A| × cosθ，表示向量A在B方向的投影长度。向量A为单位向量时同理。 当且仅当向量A与B垂直时，A·B=0。
显然，学过线性代数都知道，一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。
函数的正交是向量正交正交的推广,函数可看成无穷维向量。
所谓三角函数系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……} 在区间[-π,π]上正交,就是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0,即∫[-π->π]cos(nx)dx=0∫[-π->π]sin(nx)dx=0∫[-π->π]sin(kx)*cos(nx)dx=0；任意k和n∫[-π->π]cos(kx(*cos(nx)dx=0；(k,n=1,2,3.,k≠n)∫[-π->π]sin(kx)*sin(nx)dx=0；(k,n=1,2,3.,k≠n)∫[-π->π]cos(mx)*cos(nx)dx=0；（m≠n)∫[-π->π]sin(nx)*sin(nx)dx=π∫[-π->π]cos(nx)*cos(nx)dx=π有了上述性质，傅利叶级数的展开就能大幅简化。
三角函数的另外一个重要性质是有奇偶性。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
奇函数可以表示为正弦级数，偶函数则可以表示成余弦级数。
也即奇函数f(x)=∑bksin(kx)（k=-∞,∞)；偶函数g(x)=a0/2+∑akcos(kx)（k=-∞,∞)。
这些公式用欧拉公式，就可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。
其实利用函数正交性，可以证明更一般的定理，那就是广义傅利叶技级数的收敛性。
广义傅里叶级数是对一切正交函数系定义的，类比三角函数定义的傅利叶级数。
定义：任何正交函数系｛g(x)} ，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程：∫_a^bf^2(x)dx=∑C_k^2(k=1,…∞),那么级数∑C_kg_k(x)(k=1,…∞)必然收敛于f(x），其中：
cn=∫_a^bf(x)g_n(x)dx事实上，无论级数∑C_kg_k(x)(k=1,…∞)是否收敛，总有：
∫_a^bf^2(x)dx≥∑C_k^2(k=1,…∞)(贝塞尔(Bessel）不等式)。
这个性质经常用，可以大幅简化问题。
（6）、傅利叶变换和调和分析简介
傅利叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。
由于傅利叶变换的巨大用途（目前尚未有任何数学工具在实际工程和科学应用上可以与之相提并论），下面稍微多说几句。
★傅里叶变换定义简单说，傅立叶变换是一种分析周期函数（例如信号）的方法，它可分析周期函数的频率成分或时变成分，也可用这些成分合成函数（或信号）。（虽然许多波形可作为函数（信号）的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，但是傅立叶变换用正弦波作为信号的成分，因为其容易计算）。
●连续型傅利叶变换常用的主要是连续型傅利叶变换。
连续型傅利叶变换的定义：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄利赫里条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点），且f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。
则有F(ω)=∫[-∞,∞]f(t)*e^(-iωt)dt称为积分运算f(t)的傅立叶变换，即将频率域的函数表示为时间域的函数。
f(t)=1/2π*∫[-∞,∞]F(ω)*e^(-iωt)dω叫做F(ω)的傅立叶逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数。
F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数
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