作者：wxmang ｜ 本文正文：《瞎扯数学分析2：实变函数鸟瞰》 ｜ 收录读者讨论 37 条，其中作者回应 19 条（共 15 位参与者）。
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问 ｜ 罗阿宝 ｜ 2019-01-08
忙总您最近身体好些了吗？
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-08
现在我们只讨论技术问题了。不怕他删帖，因为制定敏感词表的的人不懂数学和系统科学。
慢慢恢复，需要时间，看到春天是不是可以恢复状态。
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问 ｜ Avez ｜ 2019-01-08
真是赶巧，我正在复习实变函数论，用徐森林老师编的《实变函数习题精选》。书的前言说:“中国科学技术大学数学系1977级出了一大批有名的年轻数学家，大量实变函数论的难题的训练是成功的重要关键。” 可想忙总当年的训练。。。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-14
当时科大很悲壮，我们进校就闹腾回北京（最早的学潮了，这也是后来科大学生动不动上街的起点），当时北京玉泉路校址占领者海军已经同意退出，最后功亏一篑，校长郭沫若大病一场，从此科大就逐渐边缘化。所以老师们的想法就是尽可能提升我们的竞争力，训练比一般学校苦得多，想我们以后有立足之地。当时偏微分方程老师沈尧天去复旦数学系看过回来讲：我们考试的试题，复旦数学系的学生根本看不懂。
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问 ｜ John ｜ 2019-01-09
忙总的小学弟袁岚峰博士也发过几个文讲黎曼
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-14
黎曼很伟大，是古典数学向现代数学过渡的桥梁和领路者，没有黎曼，就没有现代微分几何，也就没有爱因斯坦。
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问 ｜ 捕风胖子 ｜ 2019-01-09
这两年利用业余时间，把rudin的《数学分析原理》刷了一遍，看前1/3没有障碍，估计再有3年就可以理解全贴了。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-14
我们当时微积分的参考书就是菲赫金戈尔茨的《微积分学教程》和鲁丁的《数学分析原理》，鲁丁的书适合当参考书，不适合当教材，微积分教材最好的我觉得还是科大常庚哲老师写的，简单明了，不走弯路。
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问 ｜ 花晨顾 ｜ 2019-01-12
想问忙总，这些谈论几十年前学的基础知识的文章，是边查阅资料边写，还是心中有了框架之后直接写出来的？如果是后者的话也太厉害了，40年前的知识能够信手拈来
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-14
细节需要查资料，但是框架不需要，想忘掉都不容易，当时我们的训练是地狱般的。
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问 ｜ 稻花生香 ｜ 2019-01-13
好奇忙师上学时,所用教科书或教材,上面这些公式、定理、推论等内容大都有较详细的证明或推导过程吗?还是书上虽然不多,但是老师经常会给出他认为必要的证明过程?还是书上也写着"显然,同理,易证,留给有兴趣的读者自行完成…“老师也不管证明只讲完自己的课完事?
如果是后者,对于这些没有给出的证明,你们当时是自己独立完成吗?还是说对于大部分的公式,定理,不会纠结它是怎么得出来的,保证自己能理解其含义并能通过训练熟练应用就行
关于符号显示问题,忙师可以试一下LateX格式,这是排版工具,对于数学公式的支持很完善,初步掌握基本格式用不了十分钟,不过实际用时速度可能有些慢,我没深入了解过,我用的是markdown编辑器typora自带的显示与编辑功能,不知道专门的软件是否支持相关的快捷键等功能可以用来提升速度
可能忙师现在就是用的LateX格式, 如果是豆瓣不支持这种格式的话,可以尝试于公式的最后加上,（小空格，但于公式的最后是不会显示出来）,这样能强制输出一个PNG图的LateX数学公式,如果这样也不支持,只能用笨办法,先把文章放入可以正常显示的编辑器中,然后把显示的公式的png图下载下来再插入豆瓣的编辑器写好的文章中了
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-14
教科书上有证明，是其然；老师讲课主要讲所以然，主要讲为什么要这么证明，本质思想和实际背景的来龙去脉，老师不是复读机，不需要照本宣科。在课堂朗诵课本的都是误人子弟。
当年科大数学系的老师很多上课是不带书不带笔记本的（教材大多都是他们自己写的），赤手空拳讲课。
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问 ｜ 纸飞机 ｜ 2019-01-14
实变函数，个人感觉首先测度论，教科书一般也是测度论开始入手的。
然后是Lebesgue积分的工作了，推广了Riemann积分，核心的四个极限定理，Levi, Fatou, Lebesgue dominated, Vitali
然后呢，有积分，就应该有导数，Vitali covering定理和Lebesgue微分定理保证了至少单调函数在可数集外是连续的，然后引入了可以定义导数的有界变差函数，还有牛莱公式成立的绝对连续函数。
其它的比如Lp空间以及范数相关不等式，乘积测度与Fubini, Tonelli定理等等 泛函和测度论会重新学习。
实际数学系 实变和泛函是双修的，这俩纠结在一起，实变和泛函我们当年也是一个老师讲。当年我看的是rudin的《实分析和复分析》
当年实变 要想及格也简单，理解了Lebesgue测度和积分，搞清楚几乎处处收敛、依测度收敛、一致收敛之间的联系，理解了控制收敛定理、单调收敛定理、Fatou引理等几个等价的命题，就差不多可以及格了。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-14
这个和各个学校的教学安排有关，我们教实变函数，是为了学习泛函分析，学习泛函分析，是为了学偏微分方程和最优化（科大当年是五年制，第五年，我们的课程已经是中科院数学所硕士研究生的教材和深度）。所以我们把函数空间放在实变函数教，泛函分析除了一般本科要学的拓扑线性空间几何和线性算子和算子谱理论外，我们还要学巴拿赫代数，广义函数和索伯列夫空间等等，比一般大学数学系本科生学得多，大概相当于硕士研究生教材深度。我在本科就学了庞德里亚金的最优化，这是泛函最主要的应用，当然偏微分方程我们也到了要用泛函的程度，去理论物理系听量子力学，也用到泛函分析了。
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问 ｜ 辣椒炒牛肉 ｜ 2019-01-14
量子力学里讲泛函分析，是一次量子化、希尔伯特空间、谱和最小作用量原理吗？还是路径积分量子化方案？
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-14
初等量子力学用到泛函分析地方不多，变分法是主要的，其次算子的特征值与谱方法也有一点，到是群论用得多，科大有老师写过一本书，大概意思就是量子力学其实就是群论。
到高等量子力学，泛函分析内容就比较多了，首先是量子可观察量的集合（即动量和位形的线性组合）通过Stone－Von Neumann定理，可以证明构成一个Hilbert空间上的算子代数，可观察量表示为自伴算子，这样很多定理都能使用；其次是超算符映射与Kraus方程求解；然后还有QT状态空间（Hilbert空间）的扩充；态矢和算符的极限与收敛，弱收敛与强收敛；算符指数定理和算符极化分解；相位算符和相位差算符；算符完备性的4个定理；路径积分（ 泛函Jacobi计算， 泛函δ函数计算）等等。
当然学习量子力学，群论还是基础，建议看看《李群和量子力学》，比看泛函分析更有价值，更能理解量子力学。
可以这样说，不懂群论和泛函分析，也能了解一点量子力学，但是群论是学习量子力学的望远镜，可以看得更远，而泛函分析是学习量子力学的显微镜，可以看得更深。
当然没有望远镜和显微镜，也无所谓，世界还是那个世界，量子力学还是那个量子力学，只要掌握线性代数和微积分，混过本科量子力学课程考试还是没问题的。
中国大多数大学物理系教量子力学的老师和教授，绝大多数不懂群论和泛函分析，就靠线性代数和微积分，也在混日子。
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问 ｜ 欧拉陀螺 ｜ 2019-01-14
这么说来，那么物理系开量子力学前先要学习泛函理论。我毕业的大学是中等985，记得讲高等量子力学的时候只是学了高数和线性代数，老师讲空间对称性的时候补充了一点点群知识。至于忙总说的提到的这些泛函理论，想来都见过，不过当时只是当做技巧来处理，没有上升的系统理论高度。
想请教忙总的问题是，精力有限，有没有必要工作中经常涉及的每一门数学理论，都要系统的掌握，还是学会主要技巧就可以了。两者怎么平衡？
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-15
我觉得如果不是做研究，以实用为主，例如你的工作需要使用偏微分方程，有限元，小波分析，傅立叶变换，优化等等工具，学点泛函分析是必要的，如果搞材料，固体物理，弹性力学，学点群论也是必要的。无用的东西就不必学了，人没有这么多精力。
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问 ｜ 老燕 ｜ 2019-01-14
反正当年教我们量子力学的胡兹甫老师，长得像高个子版的科拉松·阿基诺，她的教学就只用高代和微积分。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-15
如果只用线性代数和微积分学习量子力学（还用点偏微分方程），的确只能学点科普知识，例如理解海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学等价，就必须用到泛函分析，薛定谔用希尔伯特空间理论，在1926年5月证明了波动力学被包含在矩阵力学中，也即任何算符在一个完备正交系的空间中都可以被表示为一个矩阵。但是，他无法证明矩阵力学意义下的矩阵一定对应一个波动力学的算符。1926年秋，狄拉克构造了一般线性变换的理论，给出希尔伯特空间的幺正变换，证明了矩阵隐含的本征矢量实际上对应波动力学里的本征态。因此，矩阵力学和波动力学等价，即矩阵力学中矩阵和波动力学中的态函数和算符可以等价表示。同时，在1926年，冯·诺依曼也发现算符的本征态张成一个矢量空间（希尔伯特空间），量子态可以看成希尔伯特空间中的一个矢量，测量一个力学量得到的值应该是该力学量的某个本征值；测量后的状态坍缩到对应的本征态上。
不过量子力学最大的突破是1927年维格纳(Eugene Wigner)和外尔（Hermann Weyl）一起把群论引入了量子力学，有了群论的量子力学才能理解光谱的各种特征。
然后冯·诺依曼932年就写了著名的《量子力学的数学基础》，核心就是用希尔伯特空间的厄密算子理论作为量子力学的数学基础。当然现在看来落后了，不过当时推动了量子力学发展。
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问 ｜ stevezhouxj ｜ 2019-01-14
邱成栋教授以前曾批评过国内的数学本科教育，网上找到的文章链接：
http://club.kdnet.net/dispbbs.asp?id=12519452&boardid=1
比如文章开头就说：
“以目前的本科教育模式，国内不可能培养出一流人才，中国大学生的基础水平，尤其是修养和学风在下降。哈佛毕业生的论文水平比国内有些院士的文章都好，如果不重视学风建设，中国科技至少后退20年。”
。。。。。。。。。
我是外行人，数学白痴，难道国内数学真的就是如此之差吗？
答 ｜ wxmang ｜ 2019-01-15
现在情况的确很糟糕，按照中国数学会的说法，现在有能力做数学研究的大学数学老师和科研机构研究人员，全国大概十多万人，可是还在做原创工作的不足千人，大多数都只是在做翻译工作，或者追踪介绍工作，更糟糕的是抄袭或者不断’发明"他们的老师或太老师在20年前或50年前就证明的定理。
产生这种现象的主要原因是个管理体制，要求每年必须多少论文。而原创工作带有很强的偶然性，基本上有时能否突破靠运气，没法到点交货。所以为了位置和基金，大多数人选择了投机：抄袭和翻译。
我一个搞微分几何的国际级大腕同学，前几年国内某著名大学数学系邀请他，他的要求就一条：不能限定每年必须交几篇论文，结果人家不同意，只好继续留在美国。
获得1994年诺贝尔经济学奖的约翰·纳什，十多年不出论文，普林斯顿大学数学系照样聘请他。
我们急功近利，很难作出好的工作来。我一个从普林斯顿数学系回国的同学，被迫把一篇论文拆成四篇发表，在圈内成为笑谈。
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问 ｜ 欧拉陀螺 ｜ 2019-01-15
那么忙总经常说的“不懂xxx数学学科，就不可能真正理解xx学”，是不是针对的是这些学科的专业研究人士。
我日常经常和偏微分方程打交道，例如模拟流体运动和固体热分布或形变过程，通常直接采用商业软件（例如Ansys），按照软件的介绍固定套路运行，需要自己动脑的是边界条件的设定（不过这方面也有文献给出了流程）。即使了解些泛函知识，也没有很难给出更优化的流程，当然我学艺不精也是原因。我想请教忙总的问题是：对于我们已经束缚在岗位上的人，忙总介绍的这些知识开拓了视野，落实的着力点在什么地方（是积累经验还是重新拿起书本阅读文献）。不然总是有天马行空的感觉，自己感觉似乎看远了，但是处理问题的时候又回到了老路子。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-02-06
应用某一学科的确需要学习相关知识，但是与研究某一学科需要的知识谱系是不同的，研究需要全面，相当于购买一个万能工具箱，而应用只需要购买自己用得着的工具。当然基础概念还是必须全面了解的。其实看自己能力和时间，兴趣，喜欢就多看看，没有一定之规，只是要优化时间安排，争取价值最大化。
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问 ｜ Cousteau ｜ 2019-01-15
忙总是否考虑加一点儿外代数和p-adic的介绍？外代数等工具可以让很多等式的表达式更清晰（熟悉概念的前提下），p-adic和一些古典代数基本定理可以让大家对传统的数域的了解更深入，毕竟直接上泛函怕有些“空中楼阁”
答 ｜ wxmang ｜ 2019-02-06
不用，泛函分析有很好的应用背景作为基础，一说就明白，比实变函数好懂。再说泛函分析本质是线性代数推广到无穷维空间而已，算子不过是线性变换推广，算子谱不过是特征值推广。
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问 ｜ Billy Joel ｜ 2019-01-15
论文指标确实不好，但是大学里混子太多，如果没有论文指标，估计很多人直接不做学术了。两难，也不知道什么样的学术体制才是好的。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-02-06
不能急功近利，也要内行来评价。现在评价的人大多是行政官员，他们只能简单化处理：靠数量取胜。
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问 ｜ 老燕 ｜ 2019-01-16
我量子力学根本就没学明白，还好考试题发下来居然非常简单，于是70多分过关了。
倒是热统，考的时候还以为挺好，结果出成绩才68，自己一头雾水。
这两门在同一学期。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-02-06
统计物理其实学好的难度不次于量子力学，因为需要很好的偏微分方程和随机过程基础。而且在处理偏微分方程中，需要大量的算子计算技术。
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问 ｜ 纸飞机 ｜ 2019-01-16
因为我们当时讲这门课的老师是搞方程的，所以泛函讲的稍微多点。而且都是为以后研究打基础的。
比如比如在偏微分方程中，证明二阶线性椭圆型方程弱解的存在性，利用Hilbert 空间的Riesz表示定理和Lax-Milgram定理。泛函基本跟方程紧密相关。
高年级还有一们非线性泛函，可以说几乎是博士准备研究方程方向的基础课了。也是那个搞方程的老师讲，记得主要是4部分，1 线性化 主要涉及的是一般Banach空间上的微积分，最重要的是隐函数定理，这个定理可以引导出「连续性」方法还能证明很多偏微分方程的存在性。
2 不动点，有一种是基于序结构的不动点。 这种方法就是pde里面一种上下解技巧的抽象版本。在椭圆形pde中具有非常大的作用，还有就是Schauder不动点 ，它和博弈论发生了相关；
3单调算子理论，单调算子理论有线性和非线性两种。高阶课程主要是非线性，主要处理完全非线性椭圆形方程
4 变分法/最优化；一个变分问题等价于某个最大单调算子方程的存在性，主要思路是「拉格朗日乘子法」，主要解决是各种带有（光滑）限制条件的变分问题。后续还有 啥Ljusternik-Schirelman理论，这些东西在研究分歧理论，特征值问题，周期震动问题上特别有效。
所以数学系老师还是非常重要，如果不是这个搞方程的老师讲，大部分学泛函都会是云里雾里的，这个老师讲的就非常透彻。 当年我们系搞几何的老师不在，导致我们那届整体几何都比较弱。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-02-06
泛函分析作为高级工具，相当于线性代数作为低级工具的待遇，或者说线性代数是螺丝刀，泛函分析是电钻。泛函分析是非常常用的，例如傅里叶变换，小波分析，最优化，偏微分方程数值解，有限元等等，不学泛函分析，基本走投无路。
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问 ｜ Avez ｜ 2019-01-17
忙总，现在科大要全套引进法国的培养体系了。据说是想先学习法国人的培养方式，再在数学系搞教改。
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中新网合肥1月16日电 (记者 吴兰)中国科学技术大学“中法数学英才班”启动仪式16日举行。该英才班旨在为中国培养一批学术思想活跃、国际视野开阔、发展潜力巨大的基础科学领域未来学术领军人才。
中国科学技术大学校长包信和、法国驻上海总领事馆文化教育合作处FabienCHAREIX、法兰西科学院LaurentLAFFORGUE院士、巴黎第七大学MarcROSSO教授等出席仪式。
包信和院士说，法国在数学领域有着强大的实力和雄厚的人才储备，中法之间在高等数学教育上的合作有着相当长的历史。中法数学英才班的创建将成为中国科大数学学科继华罗庚班之后又一人才培养的新尝试。
中法数学英才班每年拟招收学员25人，其中，通过中国科大自主招生、少年班、创新班招生15人，通过中国科大校内选拔10人。获得中学生数学或物理竞赛省级赛区一等奖及更高奖项、通过中国科大自主招生考试的高中生，以及数学成绩突出的、通过少年班、创新班招生考试的高中生，可以申请进入中法班。
据悉，中国科大和法国的合作方已安排好专项资助经费，计划每年有9人通过中国科大与法国方面的资助前往法国读博士，每人获得的资助期限是4年。其余学生可以通过考试进入巴黎高等师范学院和巴黎综合理工等著名大学。
巴黎高等师范学院是培养未来科学家特别是数学家的圣地，其校友包括12位诺贝尔奖得主和10位菲尔兹奖得主，其数学领域是竞争最激烈的领域，每年仅在全世界招收3-5名外籍学生。中国科大数学科学学院近年来已经有10多位毕业生录取至巴黎高等师范学院数学系。
答 ｜ wxmang ｜ 2019-02-06
这应该是是771李皓张罗的，他现在就在巴黎高等师范数学系当教授，很多科大数学系的学生去法国，都是他联系的。法国数学不错，目前超过俄罗斯，坐三望二，仅次于美国和德国。法国的数学传统很强大，尤其在分析和拓扑领域，法国人重构了至今为止最完整的数学研究体系：公理结构体系。
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问 ｜ 舍瓦 ｜ 2019-02-07
师伯怎么看田刚老师办的国际数学中心呢，刘若川、刘毅包括韦东奕，将来还是能挑起这个梁吧
答 ｜ wxmang ｜ 2019-04-22
不了解，科大数学系和北大数学系是两个体系，也是中国唯一能够高水平开全所有数学专业基础课和专业课的两个数学系（复旦都不行，复旦的几何和代数都有遗憾）。科大传统上受苏联影响更大，基础更扎实，北大受欧美影响大，视野更开阔。总的来讲，以前科大后劲足，北大机会多。不过现在北大领先了。