作者：wxmang ｜ 本文正文：《瞎扯现代数学的基础》 ｜ 收录读者讨论 87 条，其中作者回应 43 条（共 34 位参与者）。
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问 ｜ 东南光华通明 ｜ 2016-02-18
能提出有价值的问题，关键在于对相关问题凝神静气的理解与灵机一动的领悟。百思以求一解，为解决问题打开了一扇最可能的门。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
提问题需要创造力，我们大学培养创造力办法很少，甚至不重视。
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问 ｜ stranger ｜ 2016-02-18
和原来看数学史之类的差不多，学的也忘的差不多了，陈卿老师说的对，我还是该学计算机
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
你是陈卿的学生？如果去学计算机，岂不是要落入顾乃杰的魔爪？
781现在在科大的还有数学系的陈卿，胡森，李平，计算机系的顾乃杰和数理统计系的侯波。
陈卿号称数学系最帅的，会吃会玩，懂生活，五好男人，给他当博士生，应该很愉快。
胡森搞数学物理，弦论，给他当博士生难度最大，因为这哥们知识很丰富，需要学生有几把刷子，不过如果你理学学得好，能够跟他谈得来，博士论文他可以帮你搞定。胡森在大学三年级被我忽悠看杨伯峻的《论语译注》，从此沉迷于中。这家伙是郭沫若奖学金获得者，当年是满分大王，5年本科，所有数学课程都是满分。
李平是脾气最好，最平等和谐的，就算他的博士生错得一塌糊涂，他还会说你看这样好不好或者建议你这样改一下更好。
顾乃杰是技巧大王，跟他混博士生不太容易，不过你如果喜欢足球，就好办了，他能放你一马。这家伙曾经在离散数学课堂上突然脑袋短路，大讲特讲足球战术，布局。
侯波是对学生最好的老师，可以为自己学生的前途，向781同学寻求建议和咨询，学生都称为侯妈妈（她是胡森的夫人），她的学生连恋爱问题都找她咨询。所以如果在侯波手下，学生是比较幸福的。
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问 ｜ 吃狼的绵羊 ｜ 2016-02-18
看完了，写的非常好。说下我个人的观点：
80后的我从小也学习数学一直到工科研究生，虽然成绩还不错，高考和考研都在130以上（满分150），可是我之前一直总觉得数学是很没有意思的课程，就是不停的做题，把各种典型题目背下来，然后玩弄一些解题技巧，很多东西考完试就忘了。
比如我读大学时就觉得概率很好玩，当时还有很多疑惑一直没解决，反正考试也过了就没管。后来去年底无意中听了几节可汗学院的课，突然觉得很有趣，这段时间就又把概率统计重新学习了一遍（只是最基础的浙大版本教材，到不了测度论这样的高度），正好忙总前段时间发了关于概率统计的帖子，感触很深。
回忆之前我读大学时，就一直对很多东西很有疑惑，比如概率的公理化定义，当时觉得古典定义很容易理解，为啥要搞个公理化定义？老师没有讲，考试也不会考，这个疑问一直留到最近。直到我最近重新学习时，上知乎去翻，再后来看了忙总推荐的陈希孺的《数理统计学简史》（其实知乎的回答也基本来自于这本书），才觉得有豁然开朗的感觉。
再比如正态分布，当时直接就是背它的公式，然后做题，为什么会有个正态分布？为啥它的公式是这样？也不知道。也是上知乎看讨论，和看了《数理统计学简史》才清晰理解。
还有大数定律、中心极限定律，之前也不知道到底是啥意思，就是死记硬背，因为这两章其实考试也不怎么考。老师也不会太讲他们的核心意思。
现在我倒觉得，数学最终要的是它背后的东西，而不是解题技巧或者计算什么的。。。感觉也不好说，有点类似哲学的意思吧，水平有限瞎写了一堆，呵呵
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
不是数学系的，的确不需要搞得太深，没必要，因为数学对其他学科就是工具。我们用计算机，并不不需要自己会造。
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问 ｜ 东南光华通明 ｜ 2016-02-18
法国的数学实力不容忽视，虽然法国是个容易在很多方面掉链子的国家。拥有那么些顶尖数学家，是法国值得骄傲之处。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
法国数学一直是大师辈出的。这个传统太强大。
我们数学就不说跟美国，德国，法国，英国，俄罗斯比，甚至还不如以色列，日本，匈牙利，捷克，波兰等等。
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问 ｜ 东南光华通明、slyypp ｜ 2016-02-18
数学看似无用，实则大用，是真有智慧的人才能从事学术研究，是真能实用的技术加速器。
学实分析，看书上的证明还好懂，做小证明还行，一到大题，一到大构造，两眼一蒙，只能哀叹，终究考不上中国第一流的几所高校，智商欠缺啊……
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
学数学需要天赋的。
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问 ｜ 木乃伊 ｜ 2016-02-18
理发师悖论，把结果作为了前提。
假设理发师不给自己刮胡子，那么"不给自己刮胡子理发师只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子"这句话是错误的。
假设理发师给自己刮胡子，那么“给自己刮胡子的理发师只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子”
这句话也是错误的。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
你没看懂。
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问 ｜ 大扫把星 ｜ 2016-02-18
我觉得如果从有用无用出发看待数学，也许可以学好数学，但很难成为好的数学家。数学和音乐一样，都是可以触动人类心灵核心的。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
除了职业数学家，大多数人看数学，其实是检验自己大脑水平的极限（不限于逻辑能力，也有直觉能力）。
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问 ｜ 三点水 ｜ 2016-02-19
目前正在补数学的课。
我的感受是，学习数学不仅是一种思维模式的培养。成功的学习还体现在性格和行为方式上的改变。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
数学也需要熟能生巧的，很多东西学习多了，成为本能，就简单了。
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问 ｜ 猾心 ｜ 2016-02-19
简单梳理一下，不知道正确否，1、集合论=公理化集合论+存在悖论集合论；公理化集合论以结构为出发点解构自身。2、集合论本身特性使得数学规律可解释/应用不同纬度空间，从而使得数学本身成为具有观测解释构建世界工具意义。由此引申，形象思维应该也有数学表达式，只是结构和集合尚未形成。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
你试试以解决的问题为核心来梳理，就能看出妙处。
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问 ｜ qt12345678 ｜ 2016-02-19
看忙总的“瞎扯现代数学的基础”。
感受如下：
\1. 数学是人对客观世界运动规律认识的总结。要点是认识到事物内部规律或者说元素之间的作用形式以及这种内部作用适用的边界条件。物理抽象后就是数学。
\2. 数学，或者说认识的特点就是抓主要矛盾，将事物的运行规律的细节抽象后形成逻辑并指导人的下一步行动。数学是最简单和普遍的表达形式。
\3. 从有限到无限，从离散到连续的认识过程，可能是人对世界的认识过程，先认为世界是离散的，在找到规律后认为连续，发现现有认识的规律不足以说明运动后再研究离散。
关于数学原理的管理应用上：
\1. 每个企业，或者说组织，进行活动计算投入产出比的时候，应该是有内部特征变量的，如劳动生产率指标，市场占有率指标，人员构成指标，财务运行指标等，之间应该是相互联系的，可能可以构成一个矩阵，是否是这矩阵的秩就是这个组织的主要重点？或者说是基础变量，其他状态指标是可以通过这几个指标进行推断？
\2. 数学上的矩阵的乘积和企业合并是什么关系？矩阵的乘法不满足交换律，是否是说企业合并的主体不同对合并后导致的主要矛盾也不同？
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
数学不是什么客观规律提取，现代数学完全可以独立于现实发展和存在。他是第三空间的东西。
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问 ｜ little-mouse ｜ 2016-02-19
我现在开始学大学的数学给自己长脑子了，下了您说的经济学书单，活的要明白些。。。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
读书要有人指导，不然容易成为移动书橱。
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问 ｜ longriyao ｜ 2016-02-19
忙叔 请问一下 您这些逻辑关系是怎么理清楚的啊？ 我也看了很多的数学史，没能达到您这种了如指掌的感觉啊。很赞同您的说法啊 我也感觉数学是一个独立的世界，只是现在数学世界公理化的根基还不是很稳定，正在完善而已。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
有个好老师就够了，我们集合论的老师是熊金诚老师，他顺便把拓扑学也讲了，他的拓扑学讲义，至今仍然是科大数学系的经典。
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问 ｜ 刹那芳华 ｜ 2016-02-19
高数课我的笔记当初经常被同学借去抄录，后来有复印，也被大量复印，视为班级小宝典，也是我的小得意。。。当初老师四块黑板轮流使用，我边听边记边理解，黑笔是板书，还用红笔标出重点，蓝笔是老师的话。甚至还记下其他同学提问及回答。复习看看笔记，就像又上了一次课。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
好学生。华罗庚的名著《高等数学讲义》就是女同学的笔记出版。华罗庚自己讲课是没有任何书面讲义和备课准备的，上来问第一排女同学上次课讲到什么地方了，就开始往下讲。这才是大师风范。
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问 ｜ 乌金沙 ｜ 2016-02-19
我现在疑心，提问题的能力培养，除了运气外，可能更多依赖家传或师承体系，但这里头也有很多运气问题。站在这个角度，我觉得我们中国传统上极端重视历史这学科是有道理的。只是今人偏狭，以为历史就是故纸堆，技术史、技术社会史等等都不是历史。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
数学系好老师会教学生怎么提问题，当年陈希孺的学生白志东和赵林成（现在也是中国数理统计的大腕牛人，78年中国第一届博士），就在课堂上展示过怎么学习提问题。
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问 ｜ slyypp ｜ 2016-02-19
日本人比中国认真。看过老版的日本中学数学教材和教辅，编纂地更成体系，细节也更透彻。
《高等数学讲义》的前言，华罗庚说是王元帮助整理的，原来是前排女同学，哈哈。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
日本数学有自己的传统。Kobayashi和Nomizu的两卷本Foundations of Differential Geometry是微分几何的经典教材。
1960年仅37岁就因病去世的Yamabe是当时几何分析领域的绝对权威。
Oka在二十世纪三，四十年代解决了一系列多复变函数论的难题，代数数论中Iwasawa理论就是岩泽健吉的杰作，成为后来Wiles证明费马大定理的主要工具之一。
高木贞治创立类域论，合作解决Hilbert第9问题。
永田雅宜(M.Nagata )给出Hilbert第14问题的反例。
谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想最终导致了费马大定理的完全证明。
日本获得菲尔兹奖的有3位：小平邦彦；广中平祐和森重文。
日本获得沃尔夫数学奖有3位：伊藤清，佐藤幹夫，小平邦彦。
王元只是把女同学的笔记收集，校对而已。王元当时是华罗庚的助教。
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问 ｜ 大扫把星 ｜ 2016-02-19
逻辑能力的极限是数学，但直觉能力的极限是不是数学，我比较怀疑
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-19
你显然对数学的猜想不熟悉。所有数学猜想都是自觉能力的极限产物，例如我们熟知的四色定理；庞加莱猜想；卡塔兰猜想；希尔伯特-史密斯猜想；西塔潘猜想；Abc猜想；欧拉猜想；考拉兹猜想(角谷猜想)；梅森素数分布猜测；阿廷猜想(新梅森猜想)；哥德巴赫猜想；
孪生素数猜想；克拉梅尔猜想；哈代-李特尔伍德第二猜想；六度空间理论；P与NP问题；
杨-米尔理论；黎曼假设等等。
其实数学家寻找问题，经常依赖直觉，或者只有直觉可以依赖，就像在浓雾中找出路一样，只有直觉才有用。例如注明的希尔伯特问题就是直觉的产物。
(1)康托的连续统基数问题；
(2)算术公理系统的无矛盾性；
(3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的；
(4)两点间以直线为距离最短线问题；
(5)拓扑学成为李群的条件(拓扑群)；
(6)对数学起重要作用的物理学的公理化；
(7)某些数的超越性的证明（如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如，2√2和eπ)；
(8)素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题；
(9)一般互反律在任意数域中的证明；
(10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解；
(11)一般代数数域内的二次型论；
(12)类域的构成问题；
(13)一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性；
(14)某些完备函数系的有限的证明（域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…，m)，R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F(X1，…，Xm)构成的环，并且F(f1，…，fm)∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成）
(15)建立代数几何学的基础；
注一舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础；
(16)代数曲线和曲面的拓扑研究；
(17)半正定形式的平方和表示；
(18)用全等多面体构造空间；
(19)正则变分问题的解是否总是解析函数；
(20)研究一般边值问题；
(21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明；
(22)用自守函数将解析函数单值化；
(23)发展变分学方法的研究。
这23个凭直觉给出的问题，引领了100年数学发展方向。
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问 ｜ 夜幕 ｜ 2016-02-19
还好我选修过离散数学，基本上能看下来。完全没想到集合论有这么重要的地位。忙总能不能再写个群论的科普？
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
等过几天，我介绍一下抽象代数，这玩意太重要了，是人思维方式的框架。
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问 ｜ 大扫把星 ｜ 2016-02-19
对这些猜想至少有所耳闻。但它们依然是从具体事物抽象归纳而来的，在某些更基本假设的框架下有效的局部问题。
或者说，数学本身所遵循的逻辑是绝对的，还只是人类的某些未经（无需）推敲的最底层的直觉？如果是后者，那数学也不过是某种主观唯心学说的阐发罢了。当然，我也不是唯物主义者，我找不到脱离自身局限观察世界的办法。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
你完全不了解数学，所以我没法说清楚。
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问 ｜ 香辣蟹 ｜ 2016-02-19
法国数学很强大，大学校预科的难度和深度就基本比肩普林斯顿的数学系硕士课程了。很多人有误解：美国人法国人不是数学不好，算数都算不明白吗？
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
柯朗说过一句名言：忘掉你学过的中学数学吧，他们其实不是数学，只是看图识字。
所以普通人是不可能知道什么是真正数学的。
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问 ｜ ilktym ｜ 2016-02-19
忙总能多给我们讲讲这些大师平日里的生活是怎么样的吗？究竟大师和普通人的境界在何处不同?对人，对事，对自己，对世道。以前的文章倒是能零零星星看到一点对大师们的描述。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
没什么区别，也要吃饭睡觉，也要发脾气，也要骂人。
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问 ｜ Cousteau ｜ 2016-02-19
请教下忙总怎么看直觉学派和Brouwer？
数学学科在一个方向上或一种认识观点的基础上上火树银花般产生很多成果并不意味着它的基础更加牢固，也不意味着我们更深入地理解了数学本身。一个不恰当的比喻就像古希腊罗马文明很灿烂，但在中古时代阿拉伯的快马弯刀面前，少量被接受并继承了过来，很多就永远湮没了几乎不再提起。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
数学的很多重要定理都是直觉的结果，丘成桐在数学所介绍他获得菲尔兹奖的工作时，就说完全是灵机一动，就像写诗来了灵感，瞬间突破。直觉是主要的动力。这也就是吴文俊先生机器证明走入死胡同的原因：没直觉。
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问 ｜ 土豆烧牛肉 ｜ 2016-02-20
很多概念在那汤松版的《实变函数》里讲得挺详细，比徐森林版的好些。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
徐森林的书不好读，尤其他写的《流形上的微积分》。
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问 ｜ 香辣蟹 ｜ 2016-02-20
看完了，确实如忙书所说，工科生学的高等数学确实还是初等数学。我当年机缘巧合，学了数学系的集合论，数学分析I，II，拓扑学，实变分析，泛函分析，复变分析，概率论。得到的结论是，我还是比较去搞控制和系统吧。纯数学，学这些课程（特别是泛函和复变）就觉得费劲了，当代前沿的岂不是更困难？ 但是我学概率论倒是非常轻松愉快，哈哈！
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
其实就是手熟尔。
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问 ｜ 包子 ｜ 2016-02-21
忙总 现代数学会有重要的应用出口吗？ 对大部分搞科研的来说确实数学是“工程师的计算工具，物理学家的建模和解释工具”，而且初等数学似乎就够用了。
还是说数学家根本不削于考虑应用场景？
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
你说的是工程师，其实工程师不懂数学也行，只要会用计算软件即可。当时物理学家，化学家不懂数学不行，例如不懂群论，就不懂量子力学，不懂泛函分析，就不可能懂最优控制，变分，傅利叶分析，所以也就不可能懂规范场论。其实只要时对称的科学，例如量子力学，量子化学，都不可能离开群论。
现在物理学，例如凝聚态物理学，基本上代数几何和代数拓扑是标准配置或者说最低配置，搞宏观经济学，泛函分析+代数拓扑也是标准配置。
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问 ｜ 土豆烧牛肉 ｜ 2016-02-21
能不能顺便讲讲泛函的思想?
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-21
可以，不过要想介绍实变函数论才行（勒贝格测度），不然无法介绍，介绍实变函数，就得先介绍微积分的核心问题：极限，变换，逼近和分解，所以只能慢慢来，篇幅太大。
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问 ｜ 柯贤达 ｜ 2016-02-22
工程师有时候也需要数学基础，应用数学解决问题比较少，但实现算法要求能看懂。我最近在优化一个基础软件的加密算法，看论文时涉及到抽象代数的基本概念，比如galois field伽罗瓦域。虽然学过一点简单的离散数学。但感觉自己并没有深入理解，照葫芦画瓢可以，但不能理解为何群域环等这些概念被抽象出来，有啥用。没有一种直觉/简洁的理解。所以很期待芒总对抽象代数的介绍。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-23
要了解伽罗华理论，必须了解拉格朗日对代数方程的工作，而了解伽罗华理论，才能真正理解群，环，域是怎么来的，才能理解数学从计算变成研究结构这一步是怎么跨出来的，才算摸着现代数学的大门了。
传统数学到现代数学（从计算到结构）的关键一步就是伽罗华理论。
豆瓣不能贴数学公式，写这一部分，不能没公式（因为必须介绍代数方程求解的历史过程，才能看出群论的概念其实是水到渠成自然产生的），而word上的公式到豆瓣上，就会成为乱码，这个比较痛苦。
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问 ｜ lotus ｜ 2016-02-23
非常期待下文。一点小小的补充：《关于用三角级数表示函数的可能性》应该是黎曼1953年的求职论文，也非常有价值。但他在1954年的就职演讲共准备了三个题目，高斯选择了黎曼自己准备最不充分的《关于几何学基础的假设》，十年前写论文时看过英文版，非常伟大，而且写的非常清晰。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-23
黎曼的确是伟大的，其实大数学家把握要点的能力都是超强的。都能够直接了当达到本质，不需要任何绕弯子。笨蛋才在外围转圈圈进不去。
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问 ｜ 必须勤力 ｜ 2016-02-23
我想出来的一个可行性方案：因为豆瓣主贴可以贴照片的，所以如果把word上写好的文章，用电脑截屏，依次贴上来即可。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-25
这个其实更麻烦，还得去找图床，而图床又是不稳定的，随时就没了。还是慢慢打字吧，用可能接受的模式写，实在不行，只能口水话解释。
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问 ｜ 心宿二、九曲通洋 ｜ 2016-02-23
看忙总的文章，等于复习了一遍。
本科初学的时候很震撼，原来数学的抽象还能再抽象。
读研学习完拓扑之后，再读道德经就豁然开朗了。
忙总你可以用画图，然后贴图
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-25
其实基本内容书上都有，我只是写点个人感受而已。这部分主要有一些置换需要描述，这玩意画图也没用，他就是一些数学变换的初级符号。
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问 ｜ far8008、Cousteau ｜ 2016-02-23
聊聊吧，为什么和道德经有关系
Galois那个美国和苏联都有两种以上风格的相关教材，（莫宗坚的代数学也没用放过，不过写得不很清楚，阿亭的好一些）。我理解的Galois的原始工作，就是他给出了一些现代代数学基本概念的典型事例，并做出了一个杰出的应用，忙总可以先把几个概念单列出来如分裂域、自同构群等等做介绍。
拉格朗日的先期工作其实有不少很清晰的科普文章。
另：苏联的Arnold为中学生写过一本《Abel’s Theorem in Problems and Solutions》，很清楚，可惜还没见到翻译版本。
http://vdisk.weibo.com/s/yTVIsAnaH9Mtu
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-25
其实国内的教材也是多种多样的，有各种流派的（十有八九都是山寨德国，美国好苏联的）。不过普及类的抽象代数教材很少，大多数是贾克波逊或者范德瓦尔登模式的。
其实你也可以写。我不是代数专业的，我写运筹学或者管理科学可能更胜任愉快。
伽罗华本质工作是给我们打开一扇门：数学核心不是计算，而是结构。
研究结构比计算重要，结构可以让我们超越常识，进入一个抽象思想能够达到的极限。
可以说，伽罗华的工作，让我们知道了抽象是一个人类超越自我的工具，也是一个人类逼近知识边界的工具，人类因此成为货真价实的万生之灵，成为地球上仅次于上帝能够触摸超越常识边界的种群。
其实这也是我喜欢看数学和理论物理书籍（当然是菜鸟级别的，不入流）的原因，因为他们的方法，思想，成果让人震撼，让人感到人类抽象能力的伟大。
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问 ｜ 心宿二 ｜ 2016-02-23
两者很多可以互相提供思路的东西，比方无和有（忙总已写），体和用（不同领域的数学有同构结构）等。
经用文字和逻辑表达，数用符号语言演算展示，两者用不同的工具来讲述一些共通的道理。
两者互为指引，因此豁然开朗了。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-25
抽象的过程就是去除物质思想载体的过程，例如数学从线性代数的欧几里得空间抽象到拓扑空间等价与狭义相对论抽象到广义相对论，因为都把度量抽象掉了，只留下最本质的的东西。抽象代数从计算过程（因式分解或解方程都是一种计算过程）想抽象到只考虑结构与经典理学抽象到量子力学等价，都把计算过程抽象掉，只考虑结构特征。
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问 ｜ 土壤 ｜ 2016-02-24
当年老师讲伽罗瓦死于决斗，学群论的时候，回想这位天才，心里总嘀咕，自己肯定没有如此剧烈的感情，能学好吗。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-02-25
为一个妓女决斗而死，一个超级数学天才，20岁就创造出数学从计算跨越到结构研究的妖孽，可能真的是天命，就像中国的贾谊，王弼，王勃，等等天才都是如此，一道流星闪过天空，瞬间消失。
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问 ｜ 曦父 ｜ 2016-02-25
忙总其实抽象思维不限于数学领域，乃是最独特的人类大脑处理信息方式，从一堆不相干的不同事物中抽提出它们“同构”的本质。这个过程其实是一种信息压缩。不远的未来，我想认知神经科学也会直接揭示出人类大脑的这种运作模式，并加以模拟，实现彻底替代人脑的人工智能。
在我们的文化中，最早探讨这种思维模式的是先秦时代的名墨家，比如“白马非马”“命题，在一大堆白色红色黑色的马匹中，抽离出马的形象这一本质属性（抛弃马的颜色这种”非本质“的属性）。只可惜这种思维模式没有进一步发展下去，于是整个古代中国一直仅仅停留在个别现象描述的阶段，而没有发展出一般化、抽象化描述世界的科学体系。甚至直到今天，官方哲学也只是强调实证的重要性，而忽略抽象概念构建的重要性。
答 ｜ wxmang ｜ 2016-03-03
中国古代的逻辑学与现代逻辑学不同。不具备数理化的基础。
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问 ｜ 大扫把星 ｜ 2016-03-03
忙总了解印度人的因明学吗？
答 ｜ wxmang ｜ 2016-03-03
不了解。
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问 ｜ baogesj ｜ 2016-03-17
工科的本科生当年看《古今数学思想》，看到第二册变分法时，就看不懂了。忙总觉得变分是不是和微积分一样，是初等数学的伟大工具？
答 ｜ wxmang ｜ 2016-03-17
变分法需要泛函分析基础，变分法的核心问题就是求泛函的极值函数和相应的极值。
泛函的直观定义就是函数的函数。
稍微严格一点定义是：给定一个函数集合Y，若对Y中的每一函数y按某一确定的规则J有一确定的实数J[y]与之对应，就说在集合Y上给定了一个泛函J。
极值问题就是：若泛函J在Y中的y0处取的值J[y0]是J在Y中所有的y处所取值J[y]中的最大（小）的一个，则说J [y0]是最大（小）值，y0称为最大（小）值函数。
设Y┡是Y中在y0附近的函数组成的子集，若J[y0]是J在Y┡上取的最大（小）值，则称J[y0]是极大（小）值，而y0称为极大（小）值函数。极大（小）值统称极值，极大值函数和极小值函数统称极值函数。
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问 ｜ 土豆烧牛肉 ｜ 2016-03-17
最后一段为何要强调范围是 {Y┡：Y中在y0附近的函数组成的子集}呢？和在Y上取值有何不同？
答 ｜ wxmang ｜ 2016-03-17
极大值是指在某个区域内，在一个小范围内的函数值均比该值小。而最大值是指在某个区域内，所有的函数值均比该值小。
极大值可能是最大值，也可能不是最大值，两个是不一样的概念。
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问 ｜ 塔里木河 ｜ 2016-12-25
忙总，在实数集合，与某个整数是否 有最接近的某个数值，这个数应该是无理数还是有理数？或者无法确定？
答 ｜ wxmang ｜ 2016-12-27
实数集合包含整数集合。不过布尔巴基学派构造整数是用公理方法，不是逼近方法。逼近是传统数学分析思想。
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问 ｜ 南北流 ｜ 2017-08-12
另外忙总提到吴文俊先生机器证明遇到没有直觉的障碍，这是否也会是现在AI发展的一个障碍，还是说现在AI的发展可以帮助克服这一问题？
答 ｜ wxmang ｜ 2017-08-14
我还是接受华罗庚当年批评吴文俊搞数学机器证明的说法：数学的核心价值不是在既定的概念体系下证明几个定理，而是创造一种概念体系，因为概念体系是人类对现实世界理解的进步。
数学机器证明永远不可能创造概念体系。
按照华罗庚的说法，数学机器证明只是民工，矿工，而大数学家应该创造概念体系，为人类理解现实世界作出贡献，而不是去挖矿。
所以华罗庚认为吴文俊从此将退出世界大数学家舞台。华罗庚说对了。吴先生其实从离开拓扑研究后，一事无成。
目前为止，华人数学家里面，能够名列人类有史以来最伟大的100名数学家，只有华罗庚+陈省身二人而已。
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问 ｜ castigliano ｜ 2017-08-14
忙总，您这么说是否可以理解为证明猜想之类的工作也是民工矿工等级的贡献？
答 ｜ wxmang ｜ 2017-08-24
看问题深度和在解决问题中创造性的发明，例如伽罗华在证明一般五次以上方程不可代数解中，创造出群论，就不是民工，而是顶级大师。
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问 ｜ stevezhouxj ｜ 2017-08-19
抱歉，歪个楼。
忙总，最近全国的环保督察活动非常厉害，不同于以往的走过场或软弱无力，这次的环保督察活动受到各地方政府的大力甚至是超常配合。
而地方政府的手法基本都很类似：一刀切。
管你小企业是否已经有了环保测评报告，全部断水断电。
什么养殖，小五金，小铸造锻造件，小化工等统统全部切断电源。
这些小企业目前完全处于停工停产状态。
而从地域方面，不管远在西北还是东部沿海，都有波及。
这次是刮得什么风？难道全国的环境整治真到了危如累卵的地步了？
还是因为这次的行动还是新的官场现象？
就像去年某些省份街头抽查行人的24字和谐价值观，背不过就不让走，要当场学习，背过了才让走，这次环保风也是这种将中央精神“夸张扩大”表现的形式吗？
还是说北京的新市长的背景有这么大辐射影响力？！
这些小企业，很多都属于低端，但就您所讲，中国产业升级的最终目标是要在高中低全吃，中低端主要解决就业问题。
虽然目前的环保问题确实很大，但只要制定个详细的5年计划或10年计划，总会逐步改善，但如这次的“一刀切”的方法，虽然粗暴简单好用，但对小企业及相关行业的伤害不小。
请问您对此有什么看法，方便讲一讲吗？
答 ｜ wxmang ｜ 2017-08-24
当年国企大下岗也一样，只要拿乌纱帽做威慑，什么花样都会出来。
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问 ｜ 老燕 ｜ 2017-08-28
当年复变函数学了个蒙差差，现在要是介绍实变函数不知能否看懂了。
实变函数是国内研究生课程吧。另一门是泛函分析，反正当年六系是这样设的。
答 ｜ wxmang ｜ 2017-08-28
复变函数是数学分析里面最简单的，如果微积分的难度是0，那么复变函数的难度是-1，泛函分析难度是1，实变函数难度是2。数学分析最难的课程是实变函数，科大数学系的说法是：实变学十遍还是学不完。
复变函数主要讨论解析函数（全纯函数，也即定义在复平面C的开子集上并在每点复可微。这是比实可微强得多的条件，它表示函数无穷可微并可以用它的泰勒级数描述）和亚纯函数（复平面开子集上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数），处理的函数性质比微积分的好得多。
你觉得不好学，我想有两个原因，一个是课时不够，没有介绍复变函数主要概念的实际背景和来源，所以理解不了为什么是这样；第二个原因是几何基础不够，复变函数是微分几何和拓扑与数学分析之间的桥梁，不了解几何背景，很难理解很多技巧的理所当然。
复变函数真正的概念来源于法国达朗贝尔在流体力学中处理连续体积分问题（也即著名的达朗贝尔-欧拉方程，你有兴趣可以上网查），然后柯西和黎曼推广到柯西-黎曼条件，这就是复变函数奠基概念来源。
复变函数主要用途是计算复杂函数，例如茹柯夫斯基用复变函数计算飞机气动外形。
现在易经大量用于微分方程、积分方程、概率论和数论等的计算，现在的流体力学和固体力学的薄壳理论计算基础就是复变函数。
复变函数与几何的联系，起源于黎曼曲面理论，黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来，也是拓扑学的桥梁。现在
复变函数干脆一个分支就是几何函数论，复变函数可以通过共形映象为函数的性质提供几何说明。例如导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。
总的来讲，复变函数是一种处理连续函数的计算技巧，在数学概念创造上，价值远远不能与实变函数和泛函分析相提并论。不过工程师必须熟练掌握复变函数，因为这是一门计算利器。
科大数学系本科必修课就有实变函数和泛函分析，而且用的教材极难（徐森林老师的），这本教材难度相当于美国二流大学数学系博士生专业课教材。所以当年我们数学系本科教材难度说是天下第一系（最过分的是李炯生老师的《线性代数》，号称亚洲最难教材，给大一新生介绍微分流形的常庚哲老师的微积分教材都算良心教材了，因为李炯生老师讲线性代数，同时在介绍交换群和域）。